60 
Kapitel Vili. Artikel 68. 
punkt. Die Konstruktion steht an Zeitverbrauch und Ge 
nauigkeit der ersten nach. 
d) Ellipsenkonstruktion; gegeben zwei ver 
wandte (konjugierte) Durchmesser. Diese müssen 
sich halbieren; ihr Schnittpunkt wird der Mittelpunkt der 
Ellipse. Man fällt von einem Endpunkt des kleineren 
Durchmessers ein Lot auf den grösseren und trägt auf 
diesem Lot von demselben Endpunkt aus nach beiden 
Richtungen die Hälfte des grösseren Durchmessers auf. 
Die Radien vom Mittelpunkt nach den beiden hiedurch 
erhaltenen Punkten geben die Summe, beziehungsweise 
die Differenz beider Halbachsen der Ellipse. Da (a + b) 
- (a - b) — 2 b, so ist der Unterschied beider Radien gleich 
dem Doppelten der kleinen Halbachse; die Länge der 
grossen ergiebt sich dann leicht aus dem grösseren Radius 
als der Summe beider. Die Richtung der grossen Halb 
achse ist dargestellt durch die Halbierungslinie des Win 
kels zwischen jenen beiden Radien. 
e) Bestimmung der Achsen und Ergänzung 
einer Ellipse, von welcher nur ein Teil des Um 
fangs gefunden ist. Man zieht zwei oder drei Grup 
pen paralleler Sehnen des 
gegebenen Bogenstücks, 
wobei man auch die längst- 
p 
mögliche Sehne als Rich 
tung einer Gruppe benützen 
wird. Die Halbierungs- I 
punkte der Sehnen einer ; 
Gruppe müssen auf einer j 
Geraden liegen; sonst ist 
das gegebene Bogenstück 
kein Ellipsenstück, und zwar 
sind die erhaltenen Gera 
den Stücke von Durch 
messern; sie schneiden sich 
also verlängert im Mittel 
punkt der Ellipse. Von 
diesem aus durchschneidet 
man (womöglich) den ge 
gebenen Bogen mit einem beliebigen Kreis, der zwei 
Schnittpunkte liefert, halbiert den Bogen zwischen bei 
den Schnittpunkten und hat im Radius nach dem Hal 
bierungspunkt die Richtung einer Achse; zugleich ergiebt 
sich die Grösse dieser Achse. Man beschreibt über ihr 
einen Kreis, zieht eine Anzahl von Ordinaten der Ellipse 
und dieses Kreises senkrecht zu der Achse und ver- 
grössert oder verkleinert dann diejenigen Kreisordinaten, 
die noch nicht auf Ellipsenpunkte treffen, in demselben 
Verhältnis, das die vorhandenen Ellipsenordinaten gegen 
über den übrigen Kreisordinaten darbieten. Die Kon 
struktion ist selbstverständlich um so unsicherer, je kleiner 
das gegebene Bogenstück gegenüber dem ganzen Umfang 
der Ellipse, und kann bei stark schiefwinkligen Durch 
schnitten zwischen Bogen und Sehnen stark verschiedene 
Ellipsen für dasselbe Bogenstück liefern. 
Wenn jener Kreis um den Mittelpunkt den gegebenen 
Bogen nur in einem Punkt schneidet, das heisst, wenn 
der Bogen keinen Scheitel enthält, so versagt die Kon 
struktion; in diesem Fall ist aber ohnehin das Resultat 
Figur 68. 
so unsicher, dass auch seine Erlangung auf anderem Weg 
nur geringen praktischen Wert hat. Ein solcher anderer 
Weg wäre der folgende: 
Man zieht, nachdem der Mittelpunkt gefunden ist, eine 
Tangente an den Bogen und eine Gerade durch den 
Mittelpunkt parallel zur längsten Sehne und beschreibt 
mit dem Abstand der Tangente vom Mittelpunkt einen 
Kreis, dessen Mittelpunkt auf jener Geraden liegt. Bis 
zu diesem Kreis verlängert man die längste Sehne und 
zieht dann in ihm und in der werdenden Ellipse noch 
weitere parallele Sehnen. Wie sich die längste Sehne 
des gegebenen Ellipsenstücks verhält zu der ihr im Kreis 
entsprechenden Sehne, so muss sich auch jede andere 
parallele Sehne der Ellipse verhalten zu der ihr im Kreis 
entsprechenden. Daraus lässt sich die ganze Ellipse er 
halten, indem man die für die halben Ellipsensehnen er 
haltenen Masse von dem Durchmesser nach dem Hal 
bierungspunkt der längsten Sehne nur rechts und links 
aufträgt. Zur Bestimmung der Achsen kann nun wieder 
jener Kreis um den Mittelpunkt benützt werden. 
f) Bestimmung der Krümmungshalbmesser 
in den Scheiteln der Ellipse; gegeben beide 
Achsem Man verbindet einen Endpunkt der grossen 
Achse mit einem Endpunkt der kleinen und errichtet in 
den Endpunkten Lote auf der Verbindungslinie. Diese 
Lote schneiden beide Achsen zum zweitenmal. Die Stücke 
auf den Achsen von den erhaltenen Schnittpunkten bis 
zum Mittelpunkt der Ellipse sind die beiden Krümmungs 
halbmesser. Die Konstruktion beruht darauf, dass der 
4 2 
grössere Krümmungshalbmesser R = -- und der kleinere 
B 2 . 
r = —r, wenn A die grosse und B die kleine Halbachse. 
g) Korblinie als Nachbildung der Ellipse 
durch Kreisstücke mit acht Mittelpunkten, wobei in den 
vier Scheiteln die Krümmungskreise erscheinen. 
Um möglichst gleich verteilte Unterschiede der Krüm 
mungen zu erhalten, kann man den Kreisbogen, der den 
Uebergang zwischen beiden Krümmungskreisen bilden soll, 
so gross wählen, dass der kleine Krümmungshalbmesser 
r sich zum Halbmesser des Zwischenkreises z verhält wie 
dieser zum grossen Krümmungshalbmesser R. Sind mit 
a c = A und c b = B (Figur 68) die beiden Halbachsen 
der nachzubildenden Ellipse gegeben, so ist nach f) R 
— A 2 jß und r = woraus z = Yr r — Vab. Wird 
also c d = cb aufgetragen, und über a d ein Kreis be 
schrieben , so ist c e = z. Die beiden Krümmungshalb 
messer werden erhalten durch bf und ag senkrecht zu 
ab, worauf r = cf— a o i und R = cg = bo 3 . Man be 
schreibt nun aus o x einen Kreis mit 2 — r und aus o 3 einen 
Kreis mit R—z; der Schnittpunkt beider Kreise o 2 ist 
der Mittelpunkt des Uebergangskreises und die Ueber- 
gangspunkte zwischen den drei Kreisbögen h und i wer 
den erhalten durch Ziehen von o 2 o x und o 3 o 2 . 
Anstatt den Zwischenradius 2 anzunehmen, kann man 
auch nach Schätzung aus freier Hand einen Bogen zwi 
schen beide Krümmungskreise einfiigen und dieser Schät 
zung entsprechend entweder auf dem kleineren Krüm 
mungskreis oder auf dem grösseren den Punkt festsetzen, 
in welchem der Uebergangskreis anschliessen soll. Es sei