Kapitel Vili. Artikel 68. Kapitel IX. Artikel 69.
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hiefür Punkt h angenommen. Man zieht ho 1 mit Ver
längerung und macht hn = R. Die auf’ der Mitte von
o 3 n in k errichtete Senkrechte zu о ъ п giebt als Durch
schnitt mit h n den Punkt o 2 als Mittelpunkt des Ueber-
gangskreises. — Wird Punkt г auf dem grösseren Krüm
mungskreis als Uebergangspunkt angenommen, so zieht
man io 3 und macht darauf im = r. Das Mittellot lo 2
von m o x liefert als Schnitt mit i о ъ den Mittelpunkt des
Uebergangskreises o 2 Für die praktische Verwertung der
Konstruktion empfiehlt sich die Annahme des Uebergangs-
punktes auf dem kleinen Krümmungskreis am meisten.
Die Annäherung an die Ellipse kann hiebei rascher er
reicht werden als mit der Wahl eines Zwischenradius 2
und ist bei allen Konstruktionen um so vollständiger, je
kleiner der Unterschied beider Halbachsen ist.
h) Eine Tangente an die Ellipse aus einem äusseren
Punkt oder parallel zu einer andern Geraden ist durch
Anlegen des Lineals an der Kurve mit Sicherheit genau
zu ziehen; damit ist aber der Berührungspunkt noch
nicht bestimmt. Man erhält ihn, wenn die Achsen be
kannt sind, durch Betrachtung der Ellipse als der aus dem
Kreis durch proportionale Verkürzung aller Ordinaten ab
geleiteten Kurve. Die Tangenten in den Endpunkten auf
einanderfallender Ordinaten des Kreises und der aus ihm
abgeleiteten Ellipse schneiden sich auf der Abscissen-
achse> das heisst auf der grossen Achse der Ellipse. Man
beschreibt also über der grossen Achse der Ellipse einen
Kreis, zieht aus dem Schnittpunkt der Ellipsentangente
mit der grossen Achse eine Tangente an den Kreis, be
stimmt deren Berührungspunkt und erhält dann den Be
rührungspunkt der Ellipsentangente als Schnitt mit der
durch den Kreisberührungspunkt gezogenen Ordinate.
Liegt der Berührungspunkt der grossen Achse näher, so
wird besser der Kreis über der kleinen Achse mit dem
Schnittpunkt der Tangente und der kleinen Achse benützt.
i) Ist die Tangentein einem gegebenen Punkt
der Ellipse zu ziehen, so wird dieselbe Thatsache be
nützt, indem zuerst die Ordinate durch den Punkt für
Ellipse und Kreis, dann die Kreistangente gezeichnet und
aus ihrem Schnittpunkt mit der grossen Achse nach dem
gegebenen Berührungspunkt gezogen wird. Dasselbe Pro
blem lässt sich auch mit Hilfe der Brennpunkte lösen;
die Tangente an der Ellipse steht senkrecht auf der Hal
bierungslinie des Winkels zwischen den beiden nach dem
Berührungspunkt gezogenen Brennstrahlen.
k) Sind die Achsen der Ellipsen nicht bekannt und
es ist der Berührungspunkt einer vorhandenen Tangente
zu bestimmen, so zieht man zwei zur Tangente parallele
Sehnen in thunlichst grosser Entfernung voneinander und
mit möglichst sicherem Schnitt mit der Peripherie. Die
gerade Verbindungslinie der Halbierungspunkte beider
Sehnen ist der Durchmesser nach dem Berührungspunkt.
Die Konstruktion ist die Anwendung der folgenden,
für alle Kurven möglichen, auf den besonderen Fall
der Ellipse. Man zieht eine Anzahl zur Tangente par
alleler Sehnen und halbiert sie; die Kurve, welche die
Halbierungspunkte verbindet, führt zum Berührungspunkt.
Bei den Linien zweiter Ordnung wird diese Kurve zur
Geraden.
1) Ist in einem Punkt eines Ellipsenstücks mit unbe
kannten Achsen eine Tangente zu ziehen, so kann man
| zur thunlichst sicheren Bestimmung ihrer Richtung fol
gende, auch für alle andern Kurven brauchbare Kon
struktion benützen, durch welche man einen zweiten Punkt
der Tangente erhält. Man beschreibt um den Berührungs
punkt einen Kreis, zieht verschiedene Radien, welche auch
die Kurve schneiden und trägt von den Kreispunkten einer
Seite aus auf den Radien die Sehnen der Kurve nach
aussen und innen auf. Man erhält dann zwei Kurven,
welche sich auf dem Kreis schneiden; der Schnittpunkt
ist ein Tangentenpunkt. Nimmt man die Konstruktion zu
beiden Seiten des Berührungspunktes vor, so erhält man
zwei auf einem Durchmesser liegende Tangentenpunkte.
An die Stelle des Kreises kann auch eine Gerade oder
beliebig gezogene Kurve treten, welche von den Ver
längerungen der zu beiden Seiten des Berührungspunktes
liegenden Sehnen der gegebenen Kurve geschnitten wird.
IX, Schatten auf minder häufig verwerteten Flächen.
Die Flächen zweiter Ordnung. ß9
Soweit diese Flächen nicht zu den Drehungsfiächen
gehören und als solche schattiert werden, sind es die fol
genden: das dreiachsige Ellipsoid, das elliptische Parabo
loid, das zweimantelige elliptische Hyperboloid^ das ein-
mantelige elliptische Hyperboloid und das hyperbolische
Paraboloid.
a) Ein dreiachsiges Ellipsoid, das heisst ein
Ellipsoid mit drei verschieden grossen Achsen, entsteht,
wenn von zwei Ellipsen mit gemeinschaftlicher Achse,
deren Ebenen senkrecht zu einander stehen, die eine
derart parallel fortrückt, dass sie mit ihren Achsen immer
gleichgerichtet und sich immer geometrisch ähnlich bleibt,
indem sie die andere in zwei Punkten schneidet. Die
fortrückende Ellipse beschreibt die Oberfläche des Ellip
soids. (Wird sie ein Kreis, oder ist die feste Ellipse ein
Kreis, so geht das dreiachsige Ellipsoid in ein Drehungs-
ellipsoid über, das nach Kap. VII zu behandeln ist.)
Die Fläche hat die Eigenschaft, dass sie von parallelen
Ebenen irgend welcher Richtung nach Ellipsen geschnitten
wird, die unter sich geometrisch ähnlich sind. Wenn also
in Anwendung der allgemeinen Lösung für gekrümmte
Flächen das Ellipsoid durch vertikale Lichtstrahlenebenen
geschnitten und an die Schnittkurven die berührenden
Tangenten gezogen werden, so sind alle diese Schnitt
kurven ähnliche Ellipsen, auf welchen auch die Berührungs
punkte der Lichtstrahlen, das heisst die Körperschatten
grenzpunkte, ähnlich liegen. Hierauf gründet sich folgende
Konstruktion der Körperschattengrenze, wobei nach Fi
gur 69 a ein Ellipsoid mit senkrecht zu den drei Grund
ebenen stehenden Achsen als Beispiel gewählt sein mag.
Man zieht durch den Mittelpunkt o der Grundriss
ellipse einen Lichtsrahl a b und zeichnet im Aufriss die
Ellipse b‘ c‘ d‘, nach welcher die Vertikalebene dieses Licht
strahls den Körper schneidet. (Für diese Ellipse ist die
