Kapitel Vili. Artikel 68. Kapitel IX. Artikel 69. 
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hiefür Punkt h angenommen. Man zieht ho 1 mit Ver 
längerung und macht hn = R. Die auf’ der Mitte von 
o 3 n in k errichtete Senkrechte zu о ъ п giebt als Durch 
schnitt mit h n den Punkt o 2 als Mittelpunkt des Ueber- 
gangskreises. — Wird Punkt г auf dem grösseren Krüm 
mungskreis als Uebergangspunkt angenommen, so zieht 
man io 3 und macht darauf im = r. Das Mittellot lo 2 
von m o x liefert als Schnitt mit i о ъ den Mittelpunkt des 
Uebergangskreises o 2 Für die praktische Verwertung der 
Konstruktion empfiehlt sich die Annahme des Uebergangs- 
punktes auf dem kleinen Krümmungskreis am meisten. 
Die Annäherung an die Ellipse kann hiebei rascher er 
reicht werden als mit der Wahl eines Zwischenradius 2 
und ist bei allen Konstruktionen um so vollständiger, je 
kleiner der Unterschied beider Halbachsen ist. 
h) Eine Tangente an die Ellipse aus einem äusseren 
Punkt oder parallel zu einer andern Geraden ist durch 
Anlegen des Lineals an der Kurve mit Sicherheit genau 
zu ziehen; damit ist aber der Berührungspunkt noch 
nicht bestimmt. Man erhält ihn, wenn die Achsen be 
kannt sind, durch Betrachtung der Ellipse als der aus dem 
Kreis durch proportionale Verkürzung aller Ordinaten ab 
geleiteten Kurve. Die Tangenten in den Endpunkten auf 
einanderfallender Ordinaten des Kreises und der aus ihm 
abgeleiteten Ellipse schneiden sich auf der Abscissen- 
achse> das heisst auf der grossen Achse der Ellipse. Man 
beschreibt also über der grossen Achse der Ellipse einen 
Kreis, zieht aus dem Schnittpunkt der Ellipsentangente 
mit der grossen Achse eine Tangente an den Kreis, be 
stimmt deren Berührungspunkt und erhält dann den Be 
rührungspunkt der Ellipsentangente als Schnitt mit der 
durch den Kreisberührungspunkt gezogenen Ordinate. 
Liegt der Berührungspunkt der grossen Achse näher, so 
wird besser der Kreis über der kleinen Achse mit dem 
Schnittpunkt der Tangente und der kleinen Achse benützt. 
i) Ist die Tangentein einem gegebenen Punkt 
der Ellipse zu ziehen, so wird dieselbe Thatsache be 
nützt, indem zuerst die Ordinate durch den Punkt für 
Ellipse und Kreis, dann die Kreistangente gezeichnet und 
aus ihrem Schnittpunkt mit der grossen Achse nach dem 
gegebenen Berührungspunkt gezogen wird. Dasselbe Pro 
blem lässt sich auch mit Hilfe der Brennpunkte lösen; 
die Tangente an der Ellipse steht senkrecht auf der Hal 
bierungslinie des Winkels zwischen den beiden nach dem 
Berührungspunkt gezogenen Brennstrahlen. 
k) Sind die Achsen der Ellipsen nicht bekannt und 
es ist der Berührungspunkt einer vorhandenen Tangente 
zu bestimmen, so zieht man zwei zur Tangente parallele 
Sehnen in thunlichst grosser Entfernung voneinander und 
mit möglichst sicherem Schnitt mit der Peripherie. Die 
gerade Verbindungslinie der Halbierungspunkte beider 
Sehnen ist der Durchmesser nach dem Berührungspunkt. 
Die Konstruktion ist die Anwendung der folgenden, 
für alle Kurven möglichen, auf den besonderen Fall 
der Ellipse. Man zieht eine Anzahl zur Tangente par 
alleler Sehnen und halbiert sie; die Kurve, welche die 
Halbierungspunkte verbindet, führt zum Berührungspunkt. 
Bei den Linien zweiter Ordnung wird diese Kurve zur 
Geraden. 
1) Ist in einem Punkt eines Ellipsenstücks mit unbe 
kannten Achsen eine Tangente zu ziehen, so kann man 
| zur thunlichst sicheren Bestimmung ihrer Richtung fol 
gende, auch für alle andern Kurven brauchbare Kon 
struktion benützen, durch welche man einen zweiten Punkt 
der Tangente erhält. Man beschreibt um den Berührungs 
punkt einen Kreis, zieht verschiedene Radien, welche auch 
die Kurve schneiden und trägt von den Kreispunkten einer 
Seite aus auf den Radien die Sehnen der Kurve nach 
aussen und innen auf. Man erhält dann zwei Kurven, 
welche sich auf dem Kreis schneiden; der Schnittpunkt 
ist ein Tangentenpunkt. Nimmt man die Konstruktion zu 
beiden Seiten des Berührungspunktes vor, so erhält man 
zwei auf einem Durchmesser liegende Tangentenpunkte. 
An die Stelle des Kreises kann auch eine Gerade oder 
beliebig gezogene Kurve treten, welche von den Ver 
längerungen der zu beiden Seiten des Berührungspunktes 
liegenden Sehnen der gegebenen Kurve geschnitten wird. 
IX, Schatten auf minder häufig verwerteten Flächen. 
Die Flächen zweiter Ordnung. ß9 
Soweit diese Flächen nicht zu den Drehungsfiächen 
gehören und als solche schattiert werden, sind es die fol 
genden: das dreiachsige Ellipsoid, das elliptische Parabo 
loid, das zweimantelige elliptische Hyperboloid^ das ein- 
mantelige elliptische Hyperboloid und das hyperbolische 
Paraboloid. 
a) Ein dreiachsiges Ellipsoid, das heisst ein 
Ellipsoid mit drei verschieden grossen Achsen, entsteht, 
wenn von zwei Ellipsen mit gemeinschaftlicher Achse, 
deren Ebenen senkrecht zu einander stehen, die eine 
derart parallel fortrückt, dass sie mit ihren Achsen immer 
gleichgerichtet und sich immer geometrisch ähnlich bleibt, 
indem sie die andere in zwei Punkten schneidet. Die 
fortrückende Ellipse beschreibt die Oberfläche des Ellip 
soids. (Wird sie ein Kreis, oder ist die feste Ellipse ein 
Kreis, so geht das dreiachsige Ellipsoid in ein Drehungs- 
ellipsoid über, das nach Kap. VII zu behandeln ist.) 
Die Fläche hat die Eigenschaft, dass sie von parallelen 
Ebenen irgend welcher Richtung nach Ellipsen geschnitten 
wird, die unter sich geometrisch ähnlich sind. Wenn also 
in Anwendung der allgemeinen Lösung für gekrümmte 
Flächen das Ellipsoid durch vertikale Lichtstrahlenebenen 
geschnitten und an die Schnittkurven die berührenden 
Tangenten gezogen werden, so sind alle diese Schnitt 
kurven ähnliche Ellipsen, auf welchen auch die Berührungs 
punkte der Lichtstrahlen, das heisst die Körperschatten 
grenzpunkte, ähnlich liegen. Hierauf gründet sich folgende 
Konstruktion der Körperschattengrenze, wobei nach Fi 
gur 69 a ein Ellipsoid mit senkrecht zu den drei Grund 
ebenen stehenden Achsen als Beispiel gewählt sein mag. 
Man zieht durch den Mittelpunkt o der Grundriss 
ellipse einen Lichtsrahl a b und zeichnet im Aufriss die 
Ellipse b‘ c‘ d‘, nach welcher die Vertikalebene dieses Licht 
strahls den Körper schneidet. (Für diese Ellipse ist die