Kapitel IX. Artikel 69. 
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vertikale Achse diejenige des Ellipsoids und die horizon 
tale durch Hinaufloten der Endpunkte des Grundriss 
durchmesserlichtstrahls a b erhältlich.) Man zieht an diese 
Schnittellipse einen berührenden Lichtstrahl m‘ n\ bestimmt 
dessen Berührungspunkt c‘ scharf nach Art. 68 und lotet 
ihn auf den Grundrissdurchmesser nach c hinunter. Hierauf 
zieht man genügend viele Sehnen der Grundrissellipse 
parallel zum Lichtstrahl und teilt sie in demselben Ver 
hältnis ein, in welchem der Lichtstrahldurchmesser durch 
die beiden Punkte c und e eingeteilt ist (o e — o c). Die 
stetige Verbindung der erhaltenen Punkte liefert die Körper 
schattengrenze im Grundriss, die ihrer Entstehungsweise 
nach elliptisch sein muss. 
Die Verbindungslinie gf der Halbierungspunkte der 
parallelen Sehnen ist ein horizontaler Durchmesser sowohl 
des Ellipsoids, als der Schattengrenzlinie auf ihm. Diese 
Figur 69 a. 
Linie erscheint im Aufriss als f‘g‘ horizontal und durch 
den Mittelpunkt gehend; die Halbierungspunkte p können 
also durch Hinauf loten auch im Aufriss erhalten werden. 
Durch diese Punkte p‘ sind im Aufriss Parallelen zu dem 
schrägen Durchmesser o‘ c‘ jener ersten vertikalstehenden 
Schnittellipse zu ziehen und dann die Endpunkte der 
Sehnen r aus dem Grundriss in den Aufriss nach r‘ hin 
aufzuloten, um auch dort die Schattengrenzpunkte zu er 
halten. Bei einem hohen Ellipsoid würden die Projektions 
lote schiefwinklige Durchschnitte ergeben; man bestimmt 1 
in diesem Fall die Aufrisspunkte besser aus der Pro 
portionalität der Sehnen. Jede Aufrisssehne p‘ r‘ verhält 
sich zu dem ihr parallelen Durchmesser o‘ c‘ wie die zu 
gehörige Grundrisssehne p r zu dem ihrigen o c. Zur Ab 
nahme der Proportionalmasse für Grundriss und Aufriss 
kann dasselbe Strahlenbüschel dienen. 
Die Körperschattengrenzlinie wird eine Ellipse, deren 
Mittelpunkt mit dem des Körpers zusammenfällt, welche 
also die Oberfläche in zwei polarsymmetrische Hälften für 
Licht und Schatten zerlegt. In der Projektion des Körpers 
auf eine zur Richtung f g senkrecht stehende vertikale 
Ebene erscheint sie als gerade Linie. 
Die an den beiden Körperumrissen tangie 
renden Lichtstrahlenprojektionen berühren in 
denselben Berührungspunkten auch die Pro 
jektionen der Schattengrenzlinie. Diese Thatsache 
gilt allgemein für gekrümmte Flächen, deren Umrisse in 
den beiden Projektionen nicht durch Kanten, sondern 
durch Auswölbung gebildet sind; sie ist eine notwendige 
Folgerung aus dem in Art. 34 a ausgesprochenen Satz. 
Denkt man sich für eine solche etwa im Aufriss gezogene 
Lichtstrahltangente die vertikalprojizierende Ebene, so 
berührt diese Ebene den Körper in einem Punkt, der der 
Körperschattengrenze angehört, weil er auf einem berüh 
renden Lichtstrahl liegt. Diese Grenze kann aber über 
die Ebene offenbar nicht hinaus, da sie sonst aus der 
Körperoberfläche hinausgehen müsste; sie muss also u m- 
kehren und da sie bei stetiger Krümmung der Fläche 
keine Ecke bilden kann, muss sie mit Berührung um 
kehren, abgesehen von dem seltenen Fall, in welchem der 
j sichtbare Teil mit dem unsichtbaren zusammenfällt. Vergl. 
Art. 63 a, Schattengrenzen auf Drehungsflächen. Weitere 
Beispiele für die beschriebene Thatsache bieten die Fi 
guren 69b, 69 c, 71, 74 a, 74 c. 
Ein zweites Verfahren für die Schattenbestimmung 
auf dem Ellipsoid wäre das im folgenden für das elliptische 
Hyperboloid angewendete Behandeln jedes horizontalen 
Durchschnitts als eines niedrigen elliptischen Kegelrumpfes. 
b) Das elliptische Paraboloid (mit vertikaler 
Achse) entsteht, wenn an die Stelle der festen Ellipse, die 
bei Erzeugung des Ellipsoids vorausgesetzt wurde, eine 
Parabel (mit vertikaler Achse) tritt. Die Bestimmung der 
Körperschattengrenze, die selbst parabolisch und im Grund 
riss geradlinig wird, kann einen ähnlichen Weg verfolgen 
wie bei jenem, wenn an die Stelle der Grundrissellipse 
eine beliebige horizontale Schnittellipse des Paraboloids 
als Fussfläche gesetzt wird. Alle Vertikalschnitte werden 
parabolisch und nicht nur ähnlich, sondern kongruent. 
Auf kurzem Weg kann die geradlinige vertikale Projektion 
der Körperschattengrenze auf einer zu f g senkrechten 
Vertikalebene gefunden und zur Konstruktion jener benützt 
werden. 
c) Ein z w e i m a n t e 1 i g e s elliptisches Hyperbo 
loid entsteht, wenn eine (am besten horizontalliegend 
gedachte) Ellipse, deren Ebene senkrecht zur wirklichen 
Achse einer Hyperbel steht, derart parallel fortrückt, dass 
sie mit ihrer Achse immer gleichgerichtet und sich immer 
geometrisch ähnlich bleibt, indem sie die Hyperbel immer 
in zwei Punkten schneidet. Die beiden Schnittpunkte mit 
der Hyperbel können Endpunkte einer Achse oder eines 
andern Ellipsendurchmessers sein. Die bewegliche Ellipse 
erzeugt zwei kongruente Mantelflächen, auf denen die 
hyperbolische Körperschattengrenze in ähnlicher Weise 
gefunden werden kann wie beim Ellipsoid und Paraboloid,