Kapitel IX. Artikel 71, 72. 
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gente steht. Die Schnittpunkte dieses Kreises mit dem 
Körperschattenkreis der Kugel sind die Schattenpunkte 
kk' und IV für den Normalschnitt der Röhre im Punkt pp‘. 
Der gesuchte Kreis projiziert sich in zwei Ellipsen, 
deren grosse Achsen senkrecht zu den Tangentenprojek 
tionen stehen. Die kleine Achse im Grundriss ergiebt sich 
aus der Umklappung der horizontalprojizierenden Ebene 
der Tangente in die Horizontalebene. In dieser Umklap 
pung ist der Schnittkreis eine Gerade senkrecht zur um 
geklappten Tangente; das Zurückklappen der Endpunkte 
dieser Geraden giebt die kleine Achse im Grundriss. Die 
Durchführung derselben Konstruktion im Aufriss liefert 
die kleine Achse der Aufrissellipse. 
Das umständliche Konstruieren der beiden Ellipsen 
des Normalschnittkreises lässt sich nun aber ersparen und 
zwar dadurch, dass man die Schnittlinie k l k‘ V der Ebenen 
beider Kreise unmittelbar aufsucht. Die Spuren einer 
Ebene, die senkrecht zu einer Geraden steht, sind senk 
recht zu den Projektionen der Geraden gerichtet, also die 
Spuren der Ebene der Kugelschattengrenze senkrecht zu 
den Lichtstrahlprojektionen und die Spuren der Ebene 
des Normalschnittkreises senkrecht zu den Projektionen 
der Tangente. Sind also in Figur 71 e 0 m‘ und on senk 
recht zu den Lichtstrahlprojektionen die Spuren der ersten 
Ebene, ferner e d‘ senkrecht zu ä b‘ und e f senkrecht zu 
ab die Spuren der zweiten, so geben die Projektionen 
der Schnittlinie beider Ebenen gh und g‘ h‘ die Rich 
tungen k l und k' in welchen im Grundriss und Aufriss 
der Berührungskugel die Durchmesser durch den Mittel 
punkt//' zu ziehen sind, um als Schnitte mit den Schatten 
kreisprojektionen der Kugel die Punkte kk' und IV zu 
liefern. 
Zu grösserer Sicherheit in der Bestimmung der Tan 
gentenprojektionen für einen ausgewählten Punkt einer 
doppelt gekrümmten Leitlinie kann man oft Gebrauch 
machen von der Thatsache, dass eine Tangente einer 
ebenen Kurve beim Aufwickeln der Kurvenebene auf einem 
vertikalen Cylinder ihre Horizontalneigung nicht ändert. 
Die zuvor beschriebene Konstruktion der Körper 
schatten grenze einer Röhrenfläche mit kreisförmigem 
Normalschnitt vereinfacht sich wesentlich, wenn die Röhren 
achse eine ebene Kurve parallel zu einer Grund 
ebene wird, weil dann in der Projektion auf diese Grund 
ebene alle Normalschnitte geradlinig werden. Die Körper 
schattengrenze ergiebt sich in diesem Fall ohne Benützung 
eines Grundplans, indem der Aufriss der Umhüllungs 
kugel samt ihrer Körperschattengrenze einmal gezeichnet 
und mit Durchmessern parallel zu den ausgewählten Nor 
malschnitten versehen wird. Jede Normalschnittlinie im 
Aufriss der Fläche ist dann ebenso einzuteilen, wie der 
ihr parallele Durchmesser durch die Schattengrenzlinie 
der Kugel eingeteilt ist. (Vergl. Art. 58; die dort gezeich 
nete Figur kann auch für den vorliegenden Fall als Bei 
spiel gelten.) 
Für Schlagschatten auf solchen Flächen (mit eben 
gekrümmter oder doppeltgekrümmter Achse) wird kaum 
eine andere als die allgemeine Lösung für gekrümmte 
Flächen zu finden sein. Sie erfordert das Zeichnen von 
Liniert, die von auszuwählenden Punkten des fortrücken- 
Göller, Schattenkonstruktionslehre und Beleuchtungskunde. 
den Kreises beschrieben werden, in Grundriss und Auf 
riss, und es sind diese Linien ganz in derselben Weise 
zu benützen, wie die Schraubenlinien bei der schrauben 
förmigen Röhre. Sehr häufig wird jedoch dieses um 
ständliche Verfahren dadurch umgangen werden können, 
dass mässig lange Stücke zwischen zwei Normalschnitten 
als Kreiscylinder betrachtet und mit Schattengrenzen beider 
Art bedacht werden. Dies ist zwar nur eine Annäherung 
und um so weniger streng richtig, je stärker die Krüm 
mung der Röhrenachse; aber es wird in den meisten 
Fällen der praktischen Schattenkonstruktion genügen. 
Röhren flächen mit beliebigem, aber unveränder- 72 
lie hem Normalschnitt. 
Der einfachste Fall einer solchen ist die Cylinder- 
fläche mit beliebigem Normalschnitt; Kreislinien des Fort- 
schreitens ergeben Drehungsflächen. Beispiele für das 
Fortschreiten auf anderen ebengekrümmten Linien sind 
die Rundstäbe, Hohlkehlen, Karniese und Wellen der 
Gesimse mit elliptisch ’oder wellenförmig geschweiften 
Kanten, wie sie etwa der Barockstil anwendet, oder 
die Horizontalgesimse auf ebenso im Grundriss geschweif 
ten Wandflächen. Doppelt gekrümmte Linien des Fort- 
schreitens bieten die zuvor genannten geschweiften Ge 
simse, wenn sie auf cylindrischer Wandfläche auftreten. 
Jeder Normalschnitt einer solchen Fläche lässt sich 
als eine niedrige Zone eines Cylinders vom selben Nor 
malschnitt auffassen, dessen Mantellinien parallel sind der 
Tangente an der Kurve des Fortschreitens in dem Punkte 
des Normalschnitts. 
Ist z. B. diese Kurve eine solche in der Vertikalebene, 
wie bei geschweiften Gesimsen auf ebener Wand, so 
zeichnet man eine Anzahl von Normalschnitten nur im 
Aufriss, wo sie als gerade Linien erscheinen, und behan 
delt jeden derselben nach Art. 53 als Cylinderfläche par 
allel zur Vertikalebene, indem man den Normalschnitt in 
die Vertikalebene umklappt und die Mantellinien senkrecht 
zur Richtung des Normalschnitts anfügt. Hiedurch werden 
auf jedem Normalschnitt die Punkte der Körperschatten 
grenze erhalten. Schlagschatten einer Selbstbeschattung 
können zunächst nach dem allgemeinen Verfahren erhalten 
werden, indem man die äquidistanten Kurven zeichnet, 
die bestimmte Punkte der Normalschnittkurve bei deren 
Bewegung beschreiben; als Schnittebenen wird man dabei 
im allgemeinen besser die vertikalprojizierenden als die 
vertikalen wählen, und oft ohne Grundriss mit Hilfe der 
leicht erhältlichen Umklappungen der Schnittlinien in die 
Vertikalebene arbeiten, indem man in einer besonderen 
Figur alle Schnittlinien als Profile verschiedener Höhe, 
aber gleicher Ausladung aufeinanderlegt und die verän 
derte Richtung des Lichtstrahls für die Umklappung mit 
dem Winkel a berücksichtigt. Wenn man aber einmal 
solche Schnitte der Schlagschatten wegen einzuführen 
hat, so benützt man sie zweckmässig auch für die Körper 
schattengrenze, und es entfällt dann deren zuerst be 
schriebene Bestimmung. 
Figur 72a bietet ein durchgeführtes Beispiel. Unter 
der Hauptfigur sind die Schnittkurven der vertikalproji- 
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