Kapitel IX. Artikel 72, 73. 
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nommen jene horizontalen Abscissen nicht von den Punkten 
der Schraubenlinien aus zu ziehen, sondern von denen der 
Tangenten an den Schraubenlinien in deren Fusspunkten 
auf der aufgewickelten Kreislinie, womit die Verdrehung 
der Normalschnittprofillinien aus ihrer Ebene heraus ver 
mieden wäre. Doch würde sich die so erzeugte strenge 
Röhrenfläche der Wandfläche nicht anschmiegen, sondern 
zwischen Scheitel und Bogenfuss klaffen, weil die Radien der 
ursprünglich ebenen Bogenlinie nach deren Aufwicklung 
nicht in die Cylinderfläche fallen, wenn sie gerade bleiben. 
Für eine strenge Röhrenfläche mit beliebig gewundener 
Leitlinie ist schon das Aufzeichnen der Umrisse und Kanten 
der Fläche eine sehr zeitraubende Arbeit, mehr noch die 
Schattenkonstruktion; doch mag sie in den Grundzügen 
hier beschrieben werden. Sind nur Körperschattengrenzen 
zu suchen, so kann die Auffassung jedes Normalschnitts 
als eines kurzen Cylinderstücks zur Lösung dienen. Als 
gegeben ist zu betrachten (Figur 72 b) erstens die Profil 
linie der Röhre F P H J mit Beifügung einer in ihrer 
Ebene liegenden Geraden PN, welche die in allen Normal 
schnitten unveränderliche Lage der Hauptnormalen zur 
Leitlinie gegenüber der Profillinie darstellen soll, zweitens 
die Projektionen p bp‘ b‘ der Tangente an der Leitlinie in 
dem für einen Normalschnitt ausgewählten Punkt pp‘ der 
Leitlinie, drittens die beiden Projektionen p 71 p‘ n‘ der Haupt- 
nornralen im Punkt //', welche senkrecht zur Tangente 
p b p‘ b‘ gerichtet sein muss und für den gewählten Normal 
schnitt horizontal angenommen ist, aber auch geneigt sein 
könnte. 
Nach Art. 48 ist der Lichtstrahl auf die Normalschnitt 
ebene zu projizieren und zwar in der Richtung der Mantel 
linie des gedachten Cylinders, also rechtwinklig. Werden 
an den Normalschnitt mit der so erhaltenen, für seine 
Ebene gültigen Lichtrichtung Tangenten gezogen, so ge 
hören deren Berührungspunkte der gesuchten Körper 
schattengrenze an. 
Die Richtung der Spuren S R und R T der Normal 
schnittebene ist rasch erhältlich; sie stehen senkrecht zu 
den gleichnamigen Projektionen /' b‘ und / b der Tangente. 
Da die Hauptnormale in der Normalschnittebene liegt, so 
müssen die Spuren der letzten durch die Spuren der ersten 
gehen, also muss die Vertikalspur S R durch m‘ gezogen 
werden. 
Um den durch den Winkelpunkt R der Spuren ge 
zogenen Lichtstrahl rechtwinklig auf die Normalschnittebene 
zu projizieren, fällt man aus einem beliebigen Punkt xx‘ 
des Lichtstrahls ein Loth xy x‘ y‘ auf diese Ebene und 
verbindet den Fusspunkt yy‘ dieses Lothes mit dem Winkel 
punkt R\ die Verbindungslinie Ry Ry‘ giebt die in der 
Normalschnittebene gültige Lichtrichtung an. 
Man klappt nun die Normalschnittebene samt dieser 
Lichtrichtung und der Hauptnormalen in eine Grundebene 
um, fügt in der Umklappung an die Hauptnormale PN 
die Profillinie der Röhre F P HJ in der gegebenen Lage 
und bestimmt die Berührungspunkte K und L der in der 
gefundenen Lichtrichtung Y R gezogenen Tangenten an 
der Profillinie. Durch Zurückklappen dieser Punkte und 
einer genügenden Zahl von andern Punkten C der Profil 
linie erhält man in den Projektionen gleichzeitig die Schatten 
punkte und die zum Zeichnen der Umrisslinie der Röhre 
notwendigen Normalschnittlinien. 
Sind auch Schlagschattengrenzen zu bestimmen, so 
verschafft man sich mit Hilfe der Umklappung nur die 
zwei Projektionen der Normalschnittlinie für eine Reihe 
von Punkten pp\ verbindet kongruent liegende Punkte cc', 
um die Kurven zu erhalten, welche bestimmte Punkte der 
Profillinie bei Erzeugung der Fläche durchlaufen, und be 
nützt diese Kurven zur Durchführung des allgemeinen 
Verfahrens für gekrümmte Flächen. 
Röhrenflächen mit veränderlichem Normal-73. 
schnitt. 
In Figur 73 ist eine solche Fläche gezeichnet. Die 
Leitlinie als Mittellinie einer Volutenkonsole ist eine ebene 
Kurve; ihre Ebene ist parallel zur Seitenebene; sie erscheint 
also in der als Linksansicht gezeichneten Seitenprojektion 
in ihrer wahren Gestalt. Die Erzeugende ist eine Wellen 
linie, die geometrisch ähnlich bleibend im Fortschreiten 
nach unten ihre Pfeilhöhen im selben Mass verjüngt, wie 
ihre Längen sich zwischen den beiden senkrecht zur Vertikal 
ebene stehenden Grenzebenen vermindern. Diese Normal 
schnitte oder Lagen der Erzeugenden projizieren sich in 
der Seitenprojektion als gerade Linien normal zur Leitlinie. 
Die Schattenkonstruktion ist die strenge Durchführung 
des allgemeinen Verfahrens mit Benützung der seitlich 
projizierenden Lichtstrahlenebenen als Schnittebenen, wobei 
sich eine interessante Schnittkurvengruppe auf einfachem 
Weg ergeben hat. 
Für solche Flächen mit gewundenen Leitlinien (Bei-