Kapitel X. Artikel 8oc, 8od. 
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Auch die Behandlung von Röhrenflächen mit beliebigen 
unveränderlichen Normalschnitten durch Hilfscylinder, die 
längs der Normalschnitte die Flächen berühren (Art. 72), 
findet nicht selten praktische Verwertung; sogar noch von 
der Auffassung der kongruenten Parallelschnitte der 
Rückungsflächen nach Art. 74 als der Zonen schiefge 
richteter Cylinderflächen, z. B. bei der gewundenen Säule, 
ist dies zu sagen (ein besonderer Fall einer solchen 
Rückungsfläche ist das hyperbolische Paraboloid aus Art. 69 e). 
Dagegen ist die Behandlung der Rückungsflächen mit ver 
änderlichen Erzeugenden (Art. 75) durch Hilfskegel, welche 
die Flächen längs Parallelschnitten berühren, und wofür 
das einmantelige elliptische Hyperboloid in Art. 69 d ein 
Beispiel war, mehr nur theoretisch interessant. 
80c. Eine Schlagschattengrenze auf Drehungs- und 
Rückungsflächen erhalten durch die Schlag 
schatten auf Parallel kr eisebenen, bezieh 
ungsweise auf Ebenen der fortrückenden 
Figur. 
Der dritte Fall der mittelbaren Schattenbestimmung 
ist derjenige, bei welchem der Schlagschatten eines schatten 
werfenden Körpers oder Randes zuerst auf einer Ebene 
gesucht wird, in welcher eine Schnittlinie des beschatteten 
Körpers liegt. Wo die Hilfsschlagschattengrenze diese 
Schnittlinie schneidet, da ist ein Schlagschattenpunkt auf 
dem beschatteten Körper. Dieser Gedanke ist zwar auch 
verwertbar, wenn die Schnittlinien aus verschiedenen par 
allelen Schnitten des Körpers verschiedene Formen haben, 
wofern sie nur einfach und rasch gezeichnet werden können, 
so dass im Grunde das Verfahren für vielerlei Flächen zur 
Anwendung gelangen könnte. Doch wird es zumeist auf 
Flächen mit geometrisch ähnlichen ParallelschniF .»das 
heisst auf Drehungs- und Rückungsflächen beschränkt. Die 
meist verwertete Lösung dieser Art ist die Bestimmung 
des auf eine Drehungsfläche durch einen Randkreis ge 
worfenen Schlagschattens mit Hilfe von Parallelkreis 
schnitten, auf deren Ebenen der Randkreis seine kongru 
enten Schlagschatten wirft (Art. 61). Minder häufige prak 
tische Anwendung findet die im selben Artikel beschriebene 
Selbstbe attung von Drehungsflächen mit berührenden 
Lichtstrahlen und Beschattung durch äussere Körper. Als 
mehr nur theoretisch interessant gehört endlich hieher die 
Schlagschattenbestimmung auf Rückungsflächen mit un 
veränderlicher und veränderlicher Erzeugenden nach Art. 
74 und 75 mit Einschluss des hyperbolischen Paraboloids 
und des elliptischen Hyperboloids (Art. 69 e und d). 
Eine Sch lagschatten grenze erhalten aus den 80 d. 
beiden Schlagschatten, die ein schatten 
werfendes Gebilde und das von ihm be 
schattete auf eine Grund ebene werfen. 
Im vierten Fall der mittelbaren Schlagschattenbestim 
mung wird auf einer Ebene, meist Grundebene, als dem 
Hilfsgebilde sowohl der Schlagschatten des schattenwerfen 
den Körpers oder Randes als derjenige einer Erzeugenden 
der beschatteten Fläche gesucht. Wo die beiden Schlag 
schattenlinien einander schneiden, da ist der gemeinschaft 
liche Schlagschatten eines Punktes der schattenwerfenden 
Grenzlinie und seines Schlagschattens auf der Erzeugen 
den, also auf der Fläche. Fan rückwärts durch diesen ge 
meinschaftlichen Schlagschattenpunkt bis zur Erzeugenden 
gezogener Lichtstrahl führt also zu einem Punkt der Schlag 
schattengrenze auf der Fläche. Das wichtigste Beispiel ist 
die Bestimmung des Schlagschattens auf einer Drehungs 
fläche nach Art. 62 durch die beiden Schlagschatten, die 
von der schattenwerfenden Grenzlinie und von einem 
Parallelkreis auf eine zur Achse senkrechte Fibene ge 
worfen werden; ferner gehören hieher das Aufsuchen der 
Schlagschattenpunkte einer Linie auf den Kanten eines 
Vielflachs oder auf einer andern Linie mit Hilfe der Schlag 
schatten beider auf einer Grundebene (Art. 17), die Be 
stimmung der Selbstbeschattung (oder äusseren Beschat 
tung) einer Schraubenfläche oder Wendelfläche durch die 
Schlagschatten des schraubenlinienförmigen Randes (oder 
der schattenwerfenden Grenzlinie) und einiger Mantellinien 
auf der Grundebene (Art. 70), endlich die Schlagschatten 
bestimmung auf der Rückungsfläche (Art. 74, gewundene 
Säule) und der Konoidfläche (Art. 77). 
Mit Hilfe der mittelbaren Schattenbestimmung werden 
besonders auf Drehungsflächen und anderen gekrümmten 
Flächen mehr verwickelter Erzeugung die Schatten im 
allgemeinen rascher und bestimmter erhalten, als mit den 
direkten Lösungen; ihre Konstruktionen sind auch meist 
interessanter und schöner als diese. Beispiele für ihre vier 
Fälle finden sich für bestimmte Formen und Lagen der 
Körper wohl noch manche ausser den genannten; wenn 
aber auch die Schattenkonstruktionslehre in dieser Rich 
tung noch beliebig weit ausgesponnen werden könnte, so 
dürften sich doch sogar bei Hereinziehen von Flächen 
höherer Ordnungen weitere Fälle neben die vier aufge 
zählten nicht stellen lassen. 
Firne mittelbare Schattenbestimmung ist der Theorie 
nach immer möglich, aber oft undurchführbar. 
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