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Sechster Abschnitt. § 4. 
beiden letzten Paragraphen bewiesenen Sätze an. Dann folgt aus 
2. für 1 = 0, dafs zu der Transformation (11) mindestens die 
Transformationen 
piXo — kp 0 X! und Pj>x 0 — kp 0 x 2 
hinzukommen, während der unter 3. bewiesene Satz uns zeigt, 
dafs die Gruppe mindestens noch die Transformationen pjx 0 und 
p 2 x 0 enthalten mufs. (Für einen verschwindenden Wert von 1 
beachte man hierbei, dafs der in 2. benutzte Koefficient b 0 nicht 
gleich null sein kann; man darf ihn also durch eins und a 0 
durch — k ersetzen.) 
5. Lehrsatz. Wenn durch die Transformationen einer Gruppe 
alle Geraden der Ebene in einander übergeführt werden können, 
so wird die Gruppe entweder bei passender Wahl der Veränder 
lichen durch die drei Transformationen 
pix 2 — p 2 x 1} p 0 X! — PjXq, p 0 x 2 — p 2 x 0 
bestimmt, oder sie ist die allgemeine projektive Gruppe in einer 
zweifach ausgedehnten Mannigfaltigkeit. 
Wie wir in der vorigen Nummer gesehen haben, kann eine 
infinitesimale Transformation der Gruppe auf die Form gebracht 
werden; 
PlX 2 — p 2 x t + lp 0 X 0 . 
Zudem mufs die Gruppe mindestens eine Transformation 
von der Form (4) enthalten, worin die Koefficienten ^ und b 2 
nicht beide verschwinden. Wenn hier 1 von null verschieden 
ist, so entlehnen wir der Nummer 3 den Satz, dafs die Gruppe 
entweder noch die Transformationen pjX 0 und p 2 x 0 oder aufser 
diesen beiden noch die Transformation p 0 x 0 oder endlich alle 
projektiven Transformationen enthält. Sie ist also entweder drei 
gliedrig und wird durch die Transformationen 
PlX 2 — p 2 X: + lp 0 Xfl, p x x 0 , p 2 x 0 
bestimmt; oder sie ist viergliedrig und enthält die Transforma 
tionen pxx 2 — p 2 x x , p 0 X(>, pix 0 , p 2 x 0 , oder sie ist die allgemeine 
projektive Gruppe mit acht willkürlichen Parametern. Die beiden 
ersten Fälle müssen aber ausgeschlossen werden, weil dann die 
Ebene x 0 = 0 durch die Transformationen der Gruppe keine 
Veränderung erleidet. 
Für einen verschwindenden Wert von 1 wenden wir den in 
2. bewiesenen Satz an, nach welchem entweder die Transformationen