Kongruenz und Messung. 
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Beweis des ersten Kongruenzsatzes für das Dreieck, der vierten 
Proposition im ersten Buche, bestärkt. Bei der Wichtigkeit dieser 
Stelle glaube ich sie im Urtext mitteilen zu sollen; sie lautet: 
E^agfio^o^evov xov ABE xgiycovov sju to AEZ xgiycovov 
xal xi&sfisvov xov fiev Ä Or/fisiov sjiI xd A Orjfiüov, xfjg öh AB 
ev&eiag kjtl xf/v AE, i(pag[i6osi xal xb B Oiyxeiov kjtl xb E öiä 
xö lorjv sivai x?]v AB xfj AE x. X. 
Euklid giebt also dem Dreieck A BE eine andere Lage und 
setzt voraus, dafs sich dadurch die Gröfse der Seiten, der Winkel 
und des Inhalts nicht ändert. Er gebraucht das Wort xifrevat, 
will also eine wirkliche Bewegung vornehmen und bestimmt die 
neue Lage, welche durch die Bewegung erhalten wird, dadurch, 
dafs 1. der Punkt A auf A, 2. die Gerade AB in die Richtung 
AE und 3. das Dreieck ABE auf AEZ fällt. 
Auch an einigen anderen Stellen wird die Bewegung benutzt; 
so wird im Beweise der 24, Proposition des dritten Buches ein 
Kreis und zuweilen in den letzten Büchern ein Körper bewegt. 
2. Hiermit dürften alle diejenigen Fälle erschöpft sein, an 
denen Euklid die Bewegung ausdrücklich erwähnt; es könnte also 
scheinen, als ob sie in Euklids System nur von untergeordneter 
Bedeutung wäre. Ganz anders aber wird unser Urteil lauten, 
wenn wir die Rolle beachten, die die angeführten Sätze in den 
Elementen spielen. Aus dem ersten Kongruenzsatze werden die 
übrigen Bedingungen für die Kongruenz von Dreiecken hergeleitet. 
Diese Sätze dienen alsdann dazu, die Lehre von den parallelen 
Linien zu begründen; auch im weiteren Verlaufe des Werkes, bei 
der Lehre vom Parallelogramm, vom Kreise, selbst in der Stereo 
metrie, wird die Kongruenz der Dreiecke aufserordentlich oft 
angewandt. Wollte man aus Euklids Elementen alle Sätze weg 
lassen, deren Beweise entweder direkt oder durch Zwischenstufen 
den ersten Kongruenzsatz benutzen, so würde kaum etwas übrig 
bleiben. Nun stützt sich dieser Satz in seinem Beweise auf die 
Bewegung; also ist bei Euklid die Bewegung eine wesentliche 
Grundlage der Geometrie. Denn die Bedeutung eines Begriffes 
hängt nicht davon ab, ob derselbe in vielen Fällen mit klaren 
Worten angeführt wird, sondern ob er, wenn auch nur indirekt, 
einen wesentlichen Bestandteil der Beweise ausmacht. 
3. Auch die übrigen griechischen Mathematiker haben keines- 
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