Kongruenz und Messung. 
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man die Sprache der Geometrie nur als kurze Bezeichnung für 
gewisse Formeln benutzt.) 
Natürlicher ist eine andere Methode, die auch wir im dritten 
Abschnitt eingeschlagen haben. Gewisse Differential-Ausdrücke 
stehen mit dem Ausdruck für das Linienelement in organischem 
Zusammenhänge; ihnen allen mufs also auch eine von der ana 
lytischen Darstellung unabhängige Bedeutung zukommen, sie dürfen 
geradezu mit geometrischen Gebilden identifiziert werden. Bei 
gewissen Formen, die wir für das Linienelement aufstellen können, 
giebt es Scharen von Transformationen, bei denen jener Aus 
druck ungeändert bleibt; alle diese Transformationen lassen aber 
noch weitere Ausdrücke ungeändert; demnach hält man sich für 
berechtigt, auch mit den neuen Formeln einen geometrischen 
Begriff zu verbinden. Aber auch hier geht man über das Linien 
element hinaus; man betrachtet die Transformationen als das Ur 
sprüngliche und stellt den Ausdruck für das Linienelement mit 
anderen Ausdrücken auf dieselbe Stufe. Dadurch verläfst man 
den von Riemann vorgezeichneten Weg und nähert sich der 
jenigen Methode, bei welcher die Bewegung zur Grundlage ge 
macht wird. 
4. Wäre der Grundgedanke der Riemannschen Arbeit richtig, 
wäre der Ausdruck für das Linienelement wirklich das Charakte 
ristische für jede Raumform, so müfste die bei der Darstellung 
dieses Ausdrucks benutzte Zahl m das erste und wichtigste Unter 
scheidungsmerkmal der Raumformen abgeben, wobei vorausgesetzt 
wird, dafs die m te Potenz des Linienelementes als homogene 
Form mten Grades in den Differentialen der Variabein sei. Indem 
man versucht, für irgend ein gerades m die weiteren Entwick 
lungen durchzuführen, mufs man unterscheiden zwischen den 
jenigen Folgerungen, welche aus dem aufgestellten Begriff in voller 
Strenge hergeleitet werden, und denjenigen Sätzen, welche erst 
nach Einführung neuer Begriffe gewonnen werden können. Wird 
das Quadrat des Linienelementes durch einen Differential-Ausdruck 
zweiten Grades dargestellt, so giebt die Geometrie selbst An 
leitung, wie man die neuen Begriffe einführen müsse; dagegen 
wird bei höheren Potenzen die Willkür gröfser sein. Demnach 
scheint es geboten, sich auf diejenigen Sätze zu beschränken, zu 
deren Herleitung man nur das Linienelement zu benutzen hat.