306
L. EÜLER1 OPERA POSTHUMA.
Analysis.
aa—/3 — i n(i3-4-l)(/3n-2)(|3-t-3)... («-*-/3 —-1)__ 2j 3_ , n («-«-1) («h-2) («-t-3) . .. («-*-/3 - 1)
^ * 4.8.12.16.. .4« * ' 4.8.12.16... 4/3 ’
seu utrinque per 2 a_H ' 5_+_1 multiplicando
q2« n (,3-f-l) (/3-t-2) (|3-h3) . .. (ct-H/3 — 1) ^2/3 n ( aH ~t) («-h2) («h-3) . . . («-+-/3—1)
* ' 4.8.12.16... 4« ’ 4.8.12.16... 4/3
Cum jam in priori forma factorum denominatoris numerus sit = «, singulique per quaternarium sint
divisibiles, hos factores ita repraesentare licet
k a . 1.2.3.,.. « = 2 2il . 1.2.3...«
simili modo denominator alterius formae ita exprimi poterit
k?. 1 .2.3 ¡3 = 2*P. 1.2.3 j3
unde haec aequalitas ostendenda superest
n (/3 —i— 1) (/3-+-2) (/3 —i— 3) .. . (a-i-/3 — 1) n («-i- 1) («-f-2) (a-t-3) . . . (a-t-j3 — 1)
_ _______ — 1.2.3.4 . . 7(3 ’
quae per crucem multiplicata manifesto utrinque praebet idem productum
n. U2.3A («_!_/?_ i).
19. Paradoxon ergo initio propositum satis distincte explicatum videtur, simulque ratio patet,
cur haec aequatio:
COS 1l(p
x'
i n ” 2
I - x
« (n - 3) — 4
X
n (n — 4) (n — 5) 6
X
etc.
4.8 ~ 4.8.12
tum demum sit veritati consentanea, quando n denotat numerum integrum positivum, simulque
omnes potestates ipsius x exponentes negativos habiturae expungantur, et cur his restrictionibus
non observatis, haec expressio in errorem praecipitet.
20. Nunc autem pro casibus, quibus n est numerus fractus, veras series exhibere possumus,
1
quae cosinus angulorum submultiplorum exprimant. Quod ut ostendam, sit primo n = — > eritque
cos—^
Vx .
[i-
1 —2 1.5
?2 '
8 x ¥T6
1 (
^1 -+-
1 —2 1.7
2V2x '
8 X ‘ 8.16
X
X
quae in ordinem secundum potestates redacta dat
cos
1 Vx /
2 9° T/2 V
1
2x
1
8xx
1.5
1.7.9 — 6
8.16.24 X
1.9.11 ~ 6
8.16.24 X
1.7
1.9.11.13 —8
8716.24.32 X
1.11.13.15 —8.
8.16.24.32
1.7.9
X
etc
etc
•)
•>
1.9.11
2.8a; 3 8.16a; 4 2.8.16a; 5 8.16.24a; 6 2.8.16.24a; 7
etc.
ubi, si quilibet coefficiens per praecedentem dividatur, haec resultat series:
I
1
2 4
Vx
I
¥
i — 1
8 *
10
42’
11
14
5 etc.
1.1 ~2
X
unde fit cos j <p = (i - x — ~
ideoque manifesto habebitur cos ^-cp = 2 = uti constat.
1.1.3 ~3
2.4.6 X
i
1.1.3.5 — 4
ä i a a ®
2.4.6.8
etc.
