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Sehen wir jetzt von x 2 und x x ab, so bleibt als konvergenzgefährdend im Nenner 
der Integrationskonstanten noch sin’’(^ 2 — x x ) stehen. Das Fortschreitungsgesetz der Po 
tenz v ist hiebei dasselbe wie vorhin (S. 38) das Fortschreitungsgesetz der Potenz von x. 
Damit die Reihe der in der Lösung unserer Differentialgleichung auftretenden Glieder 
e 2 asin#, e*b sin#, e 6 c sin#, .... 
konvergiert ist also nötig 
„4 I 
<1 oder x 2 — < 178°. 
sin 3 (# 2 — x x ) 
(Für x 2 — x 1 nahe = 0 nehmen die Integrationskonstanten die Größenordnung 1 an, 
vgl. z. B. S. 21.) 
Eine schärfere Konvergenzbedingung erhalten wir aber aus dem Umstand, daß die 
Konstanten h, l, . . . in der Lösung der Differentialgleichung noch multipliziert mit den 
Integralen J, L, . . . auftreten. In diesen Integralen kommt x in einer Potenz vor, die 
oben (S. 38) näher bestimmt wurde. Man erhält: 
zu y u gehörig: e i kJco 
„ y ,n „ e 6 lLoo 
e*X“ 
sin (x 2 tfj) 
e 6 
sin 3 (# 2 —tfj) 
y 
(2n+l) 
oo 
^4w-f-2 /^3 u -j“ 1 
sin 3 ” (X 2 — Xj) 
(2n+2) 
y 
Als Konvergenzbedingung ergibt sich 
1 > lim 
n = 00 
oo -. 
^4 w -f- 4 u -}- 2 
sin 3 " -1 (x 2 —x^)' 
y(2»-J-l) _J_ y(2n-\-2) 
e 4 # 3 
y(2n—l) _j_ y(2n) 
sin 3 (# 2 — iTj) 
33) 
sin (x 2 — #,) 
> 0,0354. 
Daraus w r ürde sich für X = n 
x 2 —x x < 173°5 
ergeben. 
Es sei hier nochmals ausdrücklich betont, daß durch die vorhergehende Konvergenz 
untersuchung keineswegs ganz exakte Grenzen für die auftretenden Größen gegeben werden 
sollten oder gegeben werden konnten; es wurde jedoch einige Klarheit über die Größen 
gewonnen, die die Konvergenz am meisten gefährden, und andrerseits wurden die Grenzen 
der Konvergenz doch wenigstens der Größenordnung nach festgestellt. — An einem Bei 
spiel, das nahe an der Grenze der Konvergenz liegt, soll das besprochene Anwachsen der 
Integrationskonstanten etc. noch näher gezeigt werden.