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§ 14. Die beiden astronomischen Gradnetzentwürfe — so wollen 
wir den orthographischen und orthodromischen mit gemeinschaftlichem 
Namen nennen — sind ungeeignet, wenn es sich um die Abbildung 
grofser Teile der Erd- oder Himmelskugel handelt; der orthographische 
läfst sich nicht über die Halbkugel hinaus und der orthodromische läfst 
sich nicht einmal bis zur Halbkugel ausdehnen. Dazu kommt die mit 
ihnen verbundene gewaltige Verunstaltung des Bildes nicht nur in 
Bezug auf die Verzerrung der Winkel, sondern auch in Bezug auf 
das Verhältnis der Flächenräume. Mit dem zunehmenden Abstande 
vom Bildmittelpunkte nimmt der Sinus immer weniger zu, so dafs die 
Flächenräume mehr und mehr verdichtet und an den Grenzen der 
Halbkugel unendlich klein werden; die Tangente dagegen nimmt immer 
mehr zu, so dafs die Flächenräume mehr und mehr verdehnt und an 
der Grenze der Halbkugel unendlich grofs werden, und doch ist es 
für manche Zwecke der Geographie ein wesentliches Erfordernis, dafs 
die Flächenräume ihr wahres Verhältnis zu einander behalten. Wenn 
sich auch auf beiden Netzentwürfen manche Aufgaben z. B. die gegen 
seitige Entfernung zweier Orte zu bestimmen, graphisch ohne Schwie 
rigkeit lösen lassen, so bietet das doch keinen Ersatz für ihre ander 
weitigen Mängel. Man hat sich deshalb nach anderen Darstellungs 
weisen umgesehen, bei denen die Radspeichen oder die Halbmesser 
der Breitenparallele mehr zunehmen, als die Sinus, und weniger 
zunehmen, als die Tangenten, und da lag es geometrisch und 
trigonometrisch am nächsten, dafs man statt des Sinus des gan 
zen sphärischen Abstandes den doppelten Sinus des halben Ab 
standes, und statt der Tangente des ganzen sphärischen Abstandes 
die doppelte Tangente des halben Abstandes wählte. Bezeichnet a 
den sphärischen Halbmesser des Breitenparallels auf der Kugelober 
fläche und p den geradlinigen Halbmesser desselben Breitenparallels 
in der Bildebene, so hat man als Gleichungen für die drei bisher 
besprochenen Netzentwürfe, wenn der Kugelhalbmesser = 1 gesetzt wird: 
p = arc a für den speichentreuen t r /■"< Wv fart*AJt y ) 
p = sin a für den reifentreuen (ci' U <-' $ '■ *■ ) 
$ = tangct. für. den geradwegigen / J 
Netzentwurf. Für die beiden neuen Entwürfe hätte man: 
p = 2 sin a/ 2 £ 1 ) 
p = 2 fang a/ 2 j 'm yAt l4<t t-u-a ) 
Geometrisch würden sich diese Halbmesser in folgender Weise dar 
stellen lassen. 
§ 15. Man legt, wie dies schon vorhin geschehen ist, durch den 
Berührungspunkt A, in dem das Auge des Beobachters gedacht wird, 
eine wagerechte Linie und teilt auf ihr von A aus nach beiden Seiten