134 Dritter Teil. Anwendungen auf Erzeugnisse projektivischer Gebilde im Raume. 
Geraden R (nach dem S. 108 bewiesenen Satze (Fig. 150)), die dadurch pro- 
jektivisch wird mit A. Also brauchen nur die Projektionsstrahlen von A und 
R gezeichnet zu werden, und man erhält das hyperbolische Paraboloid, dessen 
Fluchtkurve eben die Gerade R ist. Der Terrainschnitt giebt irgend einen 
Kegelschnitt, der ohne weiteres auf Grund der projektivischen Beziehungen ge 
zeichnet werden kann. 
Wie ersichtlich ist die Aufgabe ein Spezialfall von 5) geworden, daher wir 
später darauf zurückkommen wollen. 
Steiner fragt weiter 1 ): »Was findet statt, wenn man durch die Punkte in 
A Ebenen legt, die den entsprechenden Ebenen in 51 parallel sind?« 
Lösung: Die parallelen Ebenen flüchten nach den Strahlen eines unendlich 
fernen Fluchtstrahlbüschels des Ebenenbüschels 5f. Dieses Fluchtenbüschel 
bestimmt im Horizonte eine Punktenreihe (H), die mit A projektivisch ist. 
Unbeschadet der Allgemeinheit kann man A im Terrain annehmen, anderenfalls 
lege man eine Ebene durch das Büschelcentrum B und die Gerade A, diese 
Ebene schneidet das Terrain in einer Geraden (A), die man von B aus projek 
tivisch mit A setzt. Diese neue Punktenreihe in (A) erzeugt genau dieselben 
Ebenen mit dem Strahlbüschel wie die Gerade A. Denkt man sich alle Ebenen, 
die durch irgend welche Strahlen des Büschels und deren zugeordnete Punkte 
erzeugt werden, so umhüllen sie einen Kegel mit den Centrum in B, und da 
B unendlich weit liegt, so umhüllen die Ebenen einen Cylinder, den wir nicht 
zu zeichnen brauchen, da sein Terrainschnitt das direkte Erzeugnis von [A) mit 
der Horizontgeraden ist. 
Kap. 3. Zwei ebene Strahlbiiscliel im Raume. 
Auch diese Gebilde geben kein unmittelbares Erzeugnis, doch spricht Steiner 
den Lehrsatz aus: »Legt man, von irgend einem beliebigen Punkte D aus, 
Gerade, welche die entsprechenden Strahlenpaare a und , b und b { , c und 
c,, . . . der Strahlbüschel B und B { schneiden, so liegen alle diese Geraden 
in einer Kegelfläche T) zweiten Grades.« 
Beweis: Der einfachste Beweis dürfte der auf Grund perspektivischer 
Zeichnung sein. Man kann als Punkt D das Auge annehmen, da es in jedem 
Punkte des Raumes gedacht werden kann. Nun erzeugt das Auge 51 mit B 
und B i zwei Ebenenbüschel; diese schneiden die Bildtläche in zwei Strahlbüscheln, 
welche zugleich die perspektivischen Bilder der im Raume liegenden Büschel 
sind. Die Ivegeltläche besteht also aus allen nach dem in der Bildfläche er 
zeugten Kegelschnitte gerichteten Projektionsstrahlen. Eine Zeichnung wäre nur 
von Interesse, wenn man Durchschnitte mit anderen Ebenen verlangt. 
1) S. 303; Ostwalds Klass. Nr. 83. S. 134.