138 Dritter Teil. Anwendungen auf Erzeugnisse projektivischer Gebilde im Raume. 
im Schnittpunkte der Geraden liegen. Dieser Schnittpunkt liegt in einem durch 
das Auge gehenden Projektionsstrahle 5tb, oder Sie; doch schneiden sich die 
beiden Geraden 7 und 77 nicht im Raume, denn b, liegt über dem Fusspunkte (bj, 
in der Terrainspur (II) 2 der Geraden 77, während (e) näher zum Horizonte 
in der Terrainspur (7) 1 der Geraden 7 sich befindet. Mittelst der Wechsel- 
sclmittgeraden W können beliebig viele Projektionsstrahlen der beiden Geraden 
gezeichnet werden. In der Figur wurde ein Teil derselben gezeichnet. Diese 
Projektionsstrahlen umhüllen in der Bildfläche einen Kegelschnitt, im vorliegenden 
Beispiele eine Hyperbel, die wir Umrisshyperbel nennen wollen. Nur der 
innerhalb dieser Hyperbel liegende Teil der Bildfläche ist von Strahlen erfüllt. 
Sie umhüllen im Raume ein einfaches Hyperboloid, welches festgestellt ist, so 
bald die Träger 7(7), 77(77) der projektivischen Beziehung räumlich definiert 
worden sind. Man findet sofort Fluchtpunkt und Terrainschnitt eines jeden 
Projektionsstrahles. Die Strahlen wurden in der Zeichnung da abgebrochen, 
wo sie einerseits das Terrain, andererseits die Unendlichkeit erreichten. So 
wurde z. B. Fluchtpunkt B und Terrainpunkt (B) gefunden, letzterer als Schnitt 
punkt von bf) 1 mit der Fussspur (b) (b 4 ). W T o die Fussspur den Horizont trifft, 
ist das Lot errichtet, welches den Fluchtpunkt B giebt. Ganz ebenso wurden 
für eia,, CC,, ... und viele andere Strahlen die Flucht- und Terrainpunkte 
bestimmt. Zwecks besserer Anschauung wurden dann die Flucht- und die 
Terrainpunkte mit einander durch kontinuierlichen Zug verbunden und die ellip 
tische Fluchtkurve, sowie der elliptische Terrainschnitt ausgezeichnet. Mathe 
matisch streng können immer nur diskrete Punkte erhalten werden. 
Das einfache Hyperboloid besteht aus einer zweifachen Schar von Ge 
raden; eine jede Gerade der einen schneidet jede Gerade der anderen Schar. 
Je zwei Gerade einer jeden Schar werden von den Geraden der anderen Schar 
projektiviscli geschnitten. 
Da wir hier nicht die ganze Theorie der Hyperboloide bringen können, sei 
es gestattet in wenigen Worten die Ilauptbeziehungen zu erwähnen und im 
übrigen auf Steiners Werk 1 ) zu verweisen. Die perspektivische Zeichnung 
des Hyperboloides wollen wir ausführlich besprechen, um zu zeigen, dass nicht 
nur alle Beweise sich gut erläutern, sondern auch neue Gesichtspunkte sich 
finden lassen, die gerade durch die Zeichnung in ein helles Licht treten. Wir 
folgen nun Steiners Behandlung dieser Flächen, um später auf unsere Zeichnung 
zurückzukehren. 
Geht man von einem Ebenenbüschel 
aus, dessen Axe A i heisse, so können 
zwei beliebige Gerade A und A K , die 
sich nicht im Raume schneiden, gezogen 
und mit dem Ebenenbüschel perspek 
tivisch gesetzt werden; dann sind diese 
Sind zwei beliebige Ebenenbüschel 
A und A i , deren Axen sich im Raume 
nicht schneiden, mit einer Geraden A. 2 
projektiviscli und perspektivisch, so sind 
sie unter einander projektivisch und ihre 
Lage eine beliebig schiefe. Entsprechende 
1) S. 182 bis 234; Ostwalds Klassiker, Heft 83, Seite 4 3 bis 81.