1 42 Dritter Teil. Anwendungen auf Erzeugnisse projektivischer Gebilde im Raume. 
die beiden Geraden in einem Punkte des Projektionsstrahles. Man findet ihn 
durch Errichtung eines Lotes aa im Schnittpunkte a der Fussspuren Al und 
C 3. Dieser Punkt — ist dann der Berührungspunkt der durch das Auge 
gehenden Berührungsebene IIIIA C. Die von einem Strahle getroffenen 
Punkte I und III wollen wir korrespondierende Punkte der Fluchtkurve, A 
und C korrespondierende Punkte des Terrainschnittes nennen. 
Die hervorragende Bedeutung dieser Umstände wird erhellen, wenn man 
den Satz beachtet, »dass jede Ebene, die das Hyperboloid in einer 
Geraden schneidet, dasselbe allemal noch in irgend einer anderen 
Geraden schneidet, und dass diese zwei Geraden nicht zu einerlei 
Schar gehören« 1 ), denn die Geraden jeder Schar können als Axen projek 
tivischer Ebenenbüschel angesehen werden, deren entsprechende Ebenen die 
andere Schar Gerader zu Durchschnittslinien haben. Legt man also irgend eine 
Ebene durch das Auge und durch irgend einen Projektionsstrahl a, so kann 
diese Ebene als eine des Ebenenbüschels a angesehen werden, folglich muss 
sie eine Gerade der anderen Schar enthalten. 
Allgemein folgt ferner, dass durch jeden Punkt des Hyperboloids 
zwei Projektionsstrahlen gehen, und zwar von jeder Schar einer; 
denn fasst man einen Strahl als Träger, so muss durch den fraglichen Punkt 
ein Projektionsstrahl der anderen Schar gehen. Diese beiden Strahlen bestimmen 
eine Ebene, die Beriihrungsebene genannt wird; der Punkt heisst Be 
rührungspunkt. Insbesondere gehen auch durch die unendlich fernen Punkte 
zwei Strahlen, von jeder Schar einer, m. a. W. in beiden Scharen giebt es 
zu jedem Strahle einen parallelen der anderen Schar. In unserem 
Bilde werden diese parallelen Strablenpaare sich in Punkten der Fluchtkurve 
schneiden müssen. Die Ebene, in welcher sie liegen, heisst Asymptoten 
ebene, der entsprechende Berührungspunkt ist im Raume unendlich fern, d. h. 
ein Fluchtpunkt im Bilde. Durch jeden Punkt des Terrainschnittes 
werden ebenso zwei Projektionsstrahlen gehen, von jeder Schar 
einer. 
Kap. 3. Zeichnung der Beiden Scharen von Projektionsstrahlen. 
Kehren wir jetzt zu unserer Zeichnung zurück. Die Figuren 177 und 178 
stellen ein und dasselbe Hyperboloid dar und zwar sind in Fig. 177 die Geraden 
1(1) und II (II) die Träger der gegebenen Projektionsstrahlen aa,, b b,, CC,, 
die wir als zweite Schar von der anderen, der ersten Schar I, II, III, . . . 
unterscheiden wollen. In Fig. 177 gehören die Träger der ersten Schar, die 
Projektionsstrahlen der zweiten Schar an; umgekehrt in Fig. 178. Gezeichnet 
wurden nur die Teile der Strahlen, die von der Fussebene bis zur unendlichen 
() Steiner, S. 195 (Ostwalds Klassiker Nr. 80, S, 53).