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III. 2. Zeichnung von Axe und Scheitel des hyperbolischen Paraboloides. 159 
Axe gehenden Yertikalebene liegen, was in der Zeichnung ausgeführt ist, denn 
im Fusspunkte von S a schneiden sich nunmehr die drei Terrainlinien n (tt) (ge 
strichelt), a { [a) und Q K [Q], (die beiden letzten ausgezogen). 
Es ist sehr bemerkenswert, wie Axe und Scheitel ihren Ort ändern, je nach 
der Wahl der Augenstellung. In der Zeichnung wurden noch drei andere 
Augenpunkte O b , Of, O g beliebig angenommen, so jedoch, dass die Ortho 
gonalflucht immer durch Q hindurchging. Die bezüglichen Konstruktionen wur 
den nur angedeutet. Die Axen rücken jetzt in einer Ebene P[Q]Q fort und 
die Scheitel auf der Geraden Q[Q]. Während nämlich die Orthogonalflucht 
sich um Q dreht, beschreibt sie eine Punktenreihe in der Asymptotenflucht IP. 
Diese Punkte a, b, ... f, g . . . werden folgeweise Fluchtpunkte derjenigen 
Strahlen, die senkrecht stehen zur Schnittlinie der Ebenenpaare. Der Scheitel 
bleibt mithin auf Q[Q], rückt aber fort mit dem entsprechenden Projektions 
strahle b(b), . . . f(f), g[g) . . ., und kommt nach S b , . . . Sf, S g . . . Man er 
kennt hieraus, dass das gezeichnete Paraboloid im Raume ein anderes wird, je 
nach der Stellung des Auges. 
Statt Q fest zu behalten, kann man untersuchen, welche Änderung blos 
mit der Distanz zusammenhängt. Alsdann bliebe der Hauptpunkt O a derselbe, 
die Orthogonalflucht verschiebt sich, sich selbst parallel, und bestimmt immer 
neue senkrecht auf P[tc) stehende Strahlenpaare. Aber (tt) selbst beschreibt 
einen Kegelschnitt im Terrain, desgleichen der Scheitel S a einen Kegelschnitt 
im Raume. 
Erwähnenswert wäre noch, dass Fluchtlinie IP und Terrainkurve sich im 
Horizontpunkte 7t berühren müssen, denn dieser Punkt ist zugleich Terrain 
punkt und Fluchtpunkt. Ein Schnittpunkt kann es nicht sein, weil sonst die 
Fluchtlinie nochmals die Ellipse schneiden müsste, was nicht möglich ist, da 
ihre Punkte Fluchtpunkte sind. Die Umrisshyperbel berührt die Fluchtlinie 
in b über dem Horizonte, dagegen die Terrainkurve unter dem Horizonte. 
Eine interessante Aufgabe wäre die, den Durchschnitt einer beliebigen Ebene 
mit der Fläche zu zeichnen. Die Durchschnittskurve wird eine Hyperbel sein, 
weil jede Ebene beide Asymptotenfluchten schneidet und diese Punkte der 
Schnittkurve angehüren. In der Zeichnung kann die Hyperbel als Kegelschnitt 
jedweder Art erscheinen. Nur eine der Axe parallele Schnittebene, deren Flucht 
also durch P gehen muss, wird einen Parabelschnitt ergeben, in der Zeichnung 
eine Ellipse, die in P die Fluchtlinie IP berührt; somit wieder eine Aufgabe 
für den Zeichner. 
Um die Rerührungsverhältnisse deutlicher zu gestalten, kann man statt 
dreier Projektionsstrahlen nur einen annehmen, dagegen die Gerade W so 
wählen, dass der Punkt b günstiger, d. h. weiter fort vom Horizonte, liegt.