Erster Teil. Perspektive der Lage. 
punkte von A und A x vereinigten deren entsprechende d und e, in 
Punkten e und b,. —Man findet die der Geraden 9333 L sich decken. 
Parallelstrahlen r und q,, indem man c, 
mit q (im Unendlichen) verbindet, d. h. 
parallel A zieht, dadurch q 4 auf ® findet, 
während q 2 mit c verbunden den Punkt 
q, bestimmt. Ebenso findet man r durch 
er, parallel A K , und c, r„ trifft r auf A. 
(Beides in der Figur fortgelassen.) 
Die Doppelverhältnisse treten in einzelnen, speziellen, für die Anwendung 
sehr wichtigen Fällen einfacher auf. 
Fig. 15. 
Nimmt man statt der Punktenpaare 
c und c*, b und b t die Paare q und 
q,, r und r, (Fig. 15), wo q und r, 
unendlich weit liegen, so erhält man 
aq ar a, q, a, r, 
bq br b 4 q t b t r 4 
Allein hier ist das erste und das vierte 
Verhältnis gleich 1, mithin 
br _ fl, q, 
fl r b, q t 
oder 
flr • a, q, = br • b,q, 
d.h. »bei zwei projektivischen Ge 
raden A, A x ist das Rechteck cir -cpq, 
unter denAbständen irgend zweier 
entsprechender Punkte (a, fl, oder 
b, b,) von den Durchschnitten (r, q,) 
der Parallelstrahlen unveränder 
lich, also auch gleich er * q,-« 
Nimmt man statt der Strahlenpaare 
e, c 4 , d, d x die Paare s, s, und t, t x 
(Fig. 15a), wo st und s l t l die Schenkel 
der entsprechenden rechten Winkel be 
deuten, so erhält man: 
sin(as) . cos(as) cos(«, _ sin(«, t x ) 
sin(bs)' cos(bs) cos(6, t x ) ‘ sin(6, t\) 
oder: 
tg(as): tg(ös) = tg[b x t x ): tg{a x t x ) 
oder: 
tg(ö^) • tg(a, t x ) = tg[bs)-\g(b x t x ), 
d. h. »bei zwei projektivischen 
Strahlbüscheln B, B x ist das Pro 
dukt der Tangenten der Winkel, 
welche irgend zwei entsprechende 
Strahlen (a, a x oder b, b x ) mit den 
ungleichnamigen Schenkeln (s, t x 
oder s x , t) der entsprechenden 
rechten Winkel einschliessen, von 
unveränderlichem Wert, also auch 
gleich tg(cs)-tg(e 4 #,) =tg(e#)-tg(c,s,).«