I. 7. Auffindung zusammen fallender Elementenpaare. 
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Wird die Gerade A, noch weiter 
verschoben, so treten r und q, wieder 
auseinander, und ist ihre Entfernung 
wieder = 2rq geworden, so fällt das 
Elementenpaar f)f), auf einander. Bei 
noch weiterer Verschiebung finden 
zwei Deckungen statt, da die Strecke 
rq, j>2rg ist; es fallen Paare wie ff, 
und ii t auf einander. 
Wird das Büschel B { noch weiter 
gedreht, so treten s und t { wieder aus 
einander und erst dann, wenn sie einen 
Winkel = 2 {sg) bilden, fällt das Strah 
lenpaar hh l auf einander. Bei noch 
weiterer Drehung finden wieder zwei 
Deckungen statt, da der Winkel (st { ) 
>2sg ist; es fallen Paare, wie ff x 
und ll x auf einander. 
Kap. 7. Auffindung zusammenfallender Elementenpaare. 
Eine der wichtigsten und für die gesamte Lehre von den Kegelschnitten 
fruchtbarste Aufgabe besteht in folgendem: 
Bei zwei über einander liegenden projektivischen Gebilden die auf einander 
fallenden entsprechenden Elementenpaare zu finden; also: 
Bei einer Doppelgeraden die ver 
einigten entsprechenden Punktenpaare 
zu finden. 
Man kann die Aufgabe lösen, indem 
man die eine Gerade A x mit der anderen 
in perspektivische Lage versetzt, die Durch 
schnitte der Parallelstrahlen r und q. 
und mit deren Hülfe e und f bestimmt, 
die er • eq, = fr- f q t = ar • n,q, geben; 
dazu setze man (Fig. 23) ra und a,q, an 
einander; der Halbkreis über rq, wird vom 
Lot über a im Punkte I geschnitten. 
Wenn nun in der Doppelgeraden die 
Entfernung von r bis q 2 hier einge 
tragen wird als rq 2 , so wird der Halbkreis 
über rq 2 von einer Parallelen I, IK 2 in den 
Punkten f, und l i geschnitten, die sofort 
e und f ergeben. 
Beim Doppelstrahlbüschel die ver 
einigten entsprechenden Strahlenpaare 
zu finden. 
Man kann die Aufgabe lösen, indem 
man das eine Büschel B x mit dem an 
deren in perspektivische Lage versetzt 
und die Schenkel s, t und 5,, t x der ent 
sprechenden rechten Winkel bestimmt (S. 8). 
Da jetzt (Fig. 23 a) 
tgas • tga x t x = tgbs • tgfe, t,, 
so suche man zwei Strahlen e und f } so 
dass tg es • tg e t t { denselben Wert erhält, 
ebenso tg fs • tg /, t x . Man erhält jedoch 
einfacher das Resultat, wenn man eine 
beliebige Doppelgerade perspektivisch mit 
dem Doppelbüschel annimmt, nach dem 
Verfahren (hier links nebenbei) die sich 
deckenden Elemente bestimmt, welche zu 
gleich die sich deckenden Strahlen angeben.