III. Definition harmonischer Elemente. 
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III. Harmonische Elemente und Beziehungen. 
Kap. 1. Definition harmonischer Elemente. 
Es giebt noch gewisse Fälle, in denen die aus je vier Elementenpaaren ge 
bildeten Doppelverhältnisse einfachere Gestalt 
annehmen. 
Es war allgemein (Fig. 89) für vier Ele- 
mentenpaare: 
ab bb sin [ab) _ sin [db] 
ac ’ bc sin [ac)' sin [de) 
Wenn nun eine jede Seite hier = \ wird, so hat man 
ab bb 
ac — bc ’ 
d. h. die vier Punkte liegen so, dass 
die Abstände zweier zugeordneter Punkte 
(a und b) von den zwei 
anderen (b und c) 
gleiches Verhältnis 
zu einander haben 
(Fig. 90), 
z.B. ab = 2 bb — 1 
ac = 6 bc = 3. 
Unter diesen Bedingungen heissen 
die vier Punkte vier harmonische 
Punkte. Ferner heissen je zwei zu 
geordnete Punkte a und b, b und c 
zugeordnete harmonische Punkte. 
sin(aö) sin [db) 
sin(«e) sin (de)’ 
d. h. die vier Strahlen liegen so, dass die 
Sinusse der Winkel, welche zwei 
zugeordnete Strah 
len [a und d) mit den 
beiden anderen [b 
undc) einschliessen, 
gleiches Verhältnis 
zu einander haben 
(Fig. 90). 
Unter diesen Bedingungen heissen 
die vier Strahlen vier harmonische Strah 
len. Ferner heissen je zwei zugeordnete 
Strahlen a und d, b und c zugeord 
nete harmonische Strahlen. 
Es wurden die Strecken von a nach b und c, dann von b nach b und c ge 
nommen. Man kann ebensogut von b nach a und b, sowie von c nach a 
und b die Strecken in Verhältnis setzen, so dass zwischen den beiden einander zu 
geordneten Punktenpaaren kein Unterschied besteht, wie auch aus der Gleichung 
ab bb . baca 
— = 7— ersichtlich, die geschrieben werden kann — = — • 
ac bc ö bb cb 
Da in der Gleichung der Doppelverhältnisse beide Seiten zugleich gleich 1 
werden, so folgt: 
»Wenn bei irgend zwei projektivischen Gebilden irgend vier 
Elemente des einen Gebildes harmonisch sind, so sind auch die ihnen 
entsprechenden vier Elemente des anderen Gebildes harmonisch.«