III. 1. Definition harmonischer Elemente. 
61 
diges Yierseit. Die sechs Durch 
schnitte a, b, c, b, e, f heissen Ecken; 
das vollständige Yierseit hat drei Paar 
einander gegenüber liegender Ecken a 
und b, c und b, e und f. Somit hat 
es drei Diagonallinien ab, cb, ef 
oder x, y, z. Diese schneiden sich in 
drei Punkten £, t) und 3. 
Das Vierseit hat also Diagonallinien. 
I. Im vollständigen Yierseit sind die 
Schnittpunkte der Diagonallinien ein zu 
geordnetes harmonisches Punktenpaar 
zu den in den Diagonalen liegenden 
beiden einander zugeordneten Ecken, 
also 
tj und 3 zugeordnet zu a und b, 
3 und £ » » c und b, 
£ und t) » » e und f. 
Auf Grund der Eigenschaften des 
vollständigen Yierseits ist nun folgende 
Aufgabe zu lösen: 
Zu drei gegebenen Punkten einer 
Geraden A den vierten harmonischen 
Punkt zu finden. 
Es sei a, b ein zugeordnetes Paar 
(Fig. 94); man sucht den Punkt b, der 
dem gegebenen c zugeordnet ist. 
Man ziehe eine beliebige Linie B 
durch c, nehme willkürlich a und b 4 
auf ihr an, ziehe die vier Geraden aa t , 
bb 4 , ab[ und a 4 b. Die beiden Schnitt- 
diges Viereck. Die sechs Verbindungs 
geraden a, b, c, d, e, f heissen Seiten; 
das vollständige Viereck hat drei Paar 
gegenüber liegende Seiten, a und b, c 
und d, e und f. Somit hat es drei 
Diagonalpunkte ab, cd, ef oder £, 
t), 3. Diese ergeben die Verbindungen 
X, y, z. 
Das Viereck hat also Diagonalpunkte. 
I. Im vollständigen Viereck sind die 
Verbindungen der Diagonalpunkte ein 
zugeordnetes harmonisches Strahlenpaar 
zu den in den Diagonalpunkten sich 
schneidenden, einander zugeordneten 
Seitenpaaren, also 
y und £ zugeordnet zu a und b, 
z und x » » c und d, 
x und y » > e und f. 
Auf Grund der Eigenschaften des 
vollständigen Vierecks ist nun folgende 
Aufgabe zu lösen: 
Zu drei gegebenen Strahlen in einem 
Punkte A den vierten harmonischen 
Punkt zu finden. 
Es sei a, b ein zugeordnetes Paar 
(Fig. 94a); man sucht den Strahl d, 
der dem gegebenen c zugeordnet ist. 
Man nehme in c willkürlich den Punkt B 
an, ziehe zwei Strahlen durch b, die 
a und b in a, a 4 , b, b, treffen, ver 
binde a mit b,, b mit a 4 , die sich in C