III. Definition harmonischer Elemente. 
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Um dieses zu beweisen braucht man 
nur in entsprechenden Punkten, etwa i> 
und b,, Strahlbüschel anzunehmen und b 
mit A { , sowie b, mit A projektivisch zu 
setzen. Da jetzt entsprechende Strahlen auf 
einander fallen, b,b, so sind diese Strahl 
büschel projektivisch und liegen perspek 
tivisch und C ist ihr perspektivischer 
Durchschnitt, der durch e hindurchgeht. 
Ausserdem bilden je zwei Punktenpaare, 
a, a,, b, b,, ein vollständiges Viereck mit 
den Diagonalpunkten rt, e und J5, deren 
Verbindungen e (7, ei? harmonisch sind zu 
den Seiten A und A { . 
Um dieses zu beweisen braucht man 
nur entsprechende Gerade etwa b und b n 
als Punktenreihen anzusehen und b mit i?, 
sowie b mit B K projektivisch zu setzen. 
Da jetzt auch entsprechende Punkte im 
Durchschnitt von b und b { liegen, so sind 
diese Geraden projektivisch und liegen per 
spektivisch und G ist ihr Projektionspunkt, 
der auf dem Strahle ee l liegen muss. Ausser 
dem bilden c, c,, b, b { ein vollständiges 
Vierseit mit den Diagonallinien e und 
A, also sind C und D deren Durchschnitts 
punkte, die harmonisch sind zu den Ecken 
B und B r 
An diese Sätze schliesst sich die einfache Lösung einer in der perspektivi 
schen Zeichnung sehr häufig wiederkehrenden Doppelaufgabe: 
Durch einen gegebenen Punkt a 
(Fig. 96) eine Gerade aD zu ziehen, 
welche durch den Durchschnitt D zweier 
gegebener Geraden A und A { geht, im 
Falle dieser Durchschnitt unzugäng 
lich ist. 
In einer gegebenen Geraden A (Fig. 96 a) 
denjenigen Punkt D zu finden, welcher 
mit zwei gegebenen Punkten В und C 
in einer Geraden liegt, im Falle diese 
Gerade nicht gezogen werden kann. 
Man ziehe (Fig. 96) durch a belie 
bige Linien «ab, und «ba,, verbinde 
a mit a,, b mit b, und erhält den 
Durchschnitt B der beiden perspektivi 
schen A und A t , ziehe durch B einen 
beliebigen Strahl cc,, verbinde b mit c,, 
C mit b, und erhält c. Dann ist ca 
Man nehme (Fig. 96 a) zwei belie 
bige Punkte b und b, auf A. ziehe die 
Strahlen a, b { , «, und b, verbinde den 
Durchschnitt von a und a K mit dem 
Durchschnitt von b und 6, und erhält die 
Gerade e (den perspektivischen Durch 
schnitt zweier Büschel B und C)\ auf e