III. Definition harmonischer Elemente. 
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die sich in den Diagonalpunktcn cd, cf und bg oder £, p, g schneiden, deren Ver 
bindungen X, Y, Z sind. Aus den Eigenschaften des vollständigen Yierseits folgt, 
dass in j die Strahlen X und Y harmonisch zugeordnet sind zu g und b, ebenso in 
£ t sind Y und Z zugeordnet zu d und e; endlich in t) sind Z und X harmonisch 
zugeordnet zu c und f. Ebenso folgt beim vollständigen Viereck, dass auf Z die 
Punkte £ und t) harmonisch zugeordnet sind zu g und b, ebenso auf X die t) und 5 
harmonisch zu b und e; endlich in Y sind 5 und £ harmonisch zugeordnet zu c 
und f. Die vier harmonischen Strahlen in 5 zeigen, dass ara 2 £ sowie a 1 §a 3 £ 
und auch apa 3 U je vier harmonische Punkte sind. Vermöge dieser Punkte sind 
auch die in f sich schneidenden Geraden fet,, ft), fa 4 , f£ vier Harmonische, ebenso 
die in e, nämlich ea 4 , e§, ea 3 , e£. Nun aber haben die drei Punkte et, a.j, u 
nur einen dem u zugeordneten vierten harmonischen Punkt p. Lässt man nun A 
und fest bleiben, während der Durchschnitt von A t und A 9 sich auf der Geraden 
ite bewegt, so muss die Berührungssehne a t n 3 stets durch denselben festen 
Punkt t) gehen. Ebenso, wenn A, A a und die Gerade bl* fest bleiben, während 
der Durchschnitt von A { und A 4 sich auf br verschiebt, so muss die Berührungs 
sehne a,a 3 stets durch denselben festen Punkt £ gehen. Endlich bemerke 
man, dass die Gerade X zugleich die Berührungssehne des Punktes £ (weil X der 
Ort aller vierten harmonischen Punkte zu £ und den Kreispunkten a 3 a, u. s. w. ist, 
mithin durch die Berührungspunkte der Tangenten £p und £q hindurchgehen muss) 
und die Gerade Z zugleich die Berührungssehne des Punktes 5 sein muss, aus ähn 
lichem Grunde. Zusammengefasst erhalten wir die Sätze: 
Dreht sich eine Gerade ci, ö 2 oder 
a t öj , die einen Kegelschnitt schneidet, j 
um irgend einen in ihr liegenden Punkt 
p oder £: so ist I) der Ort desjenigen 
Punktes (b oder §), welcher zu den 
zwei Durchschnittspunkten n, a. 2 oder 
a, a 3 und dem festen Punkte der vierte 
harmonische Punkt ist, eine bestimmte 
Gerade Y oder X, und 2) in dieser Ge 
raden bewegt sich zugleich der Durch 
schnitt f oder e derjenigen zwei Tan 
genten A x , A i oder A { , A 3 , durch 
deren Berührungspunkte jene bewegliche 
schneidende Gerade geht. 
Bewegt sich ein Punkt f oder e in 
j einer festen Geraden Y oder X in der 
Ebene eines Kegelschnittes, so geht 
1) diejenige Gerade f§ oder et), welche 
zu den zwei durch den Punkt gehen 
den Tangenten A { oder A { A 3 und 
der festen Geraden die vierte, der letz 
teren zugeordnete harmonische Gerade 
ist, durch einen bestimmten Punkt t) 
oder £‘, und 2) um diesen Punkt drebt 
sich zugleich die Berührungssehne a, a 4 
oder a, a. 2 . 
Diese Beziehung der Punkte t) oder £ zu den Geraden Y oder X führt zu 
der folgenden Bezeichnung. Man nennt p den Pol der Geraden Y und Y die 
Polare des Punktes t), ebenso £ den Pol der Geraden X und X die Polare 
des Punktes £. Liegt der Punkt innerhalb wie t), so wird seine Polare den 
Kreis gar nicht schneiden, liegt er ausserhalb wie £, so schneidet die Polare 
in zwei Punkten den Kreis, und zwar in den Berührungspunkten p und q der 
beiden in £ sich schneidenden Tangenten, mithin ist die Polare von £ stets 
zugleich die Berührungssehne, und umgekehrt: Der Pol einer Geraden X 
ist der Durchschnittspunkt der in den Schnittpunkten von X mit 
von Oettingen, Zeichnen. 5