Erster Teil. Perspektive der Lage. 
während die Doppelgeraden ungleich- 
liegend sind, mithin die Strecken qgr 
und qj g! Tt einander entsprechen, und 
in gg, sowie in Ijl), entsprechende 
Punktenpaare zusammenfallen. Wir nen 
nen rq, Mittelpunkt M des hyper 
bolischen Systems. Je zwei einander 
entsprechende Punkte wie + h und — h 
liegen auf derselben Seite von M aus, 
aber auf verschiedenen Seiten von g 
oder von f) und heissen einander kon 
jugiert. Insbesondere fielen in den Punk 
ten gg, und 1)1), konjugierte Punkte auf 
einander. Diese Punkte nennen wir 
Asymptotenpunkte A und A { des 
hyperbolischen Punktensystems(Fig.i 1 0). 
Jedes Paar konjugierter Punkte 
liegt harmonisch zu den Asymp 
totenpunkten A und A l , insbeson 
dere sind der Mittelpunkt M und der 
unendlich ferne Punkt ein konju 
giertes Paar, und in jedem Asymp 
totenpunkte fällt je ein Paar mit diesem 
zusammen. 
Die unendliche Schar von Kreisen, 
die durch die Punktenpaare hindurch 
gehen und deren Mittelpunkte die 
Strecken zwischen konjugierten Punkten 
hälften, heissen ein hyperbolisches 
Kreissystem. Das System umschliesst 
die Asymptotenpunkte. Die Strecke 
MA = MA { heisst Potenz, weil 
Mh • Mh K == MA i = MA\, 
womit zugleich die harmonische Bezie 
hung von je vier Punkten h, /¿,, A, A t 
ausgedrückt ist. 
auf t i und s, fallen, während die Dop 
pelbüschel ungleichliegend sind, mithin 
die Winkelgebiete sgt und s i g l t x ein 
ander entsprechen, und in gg l sowie 
in hh K entsprechende Strahlenpaare zu 
sammenfallen. Wir nennen st oder t l s l 
die Schenkel der rechten Winkel. 
Je zwei einander entsprechende Strahlen 
etwa n und n i , liegen in demselben 
Gebiete zwischen jenen Schenkeln, aber 
auf verschiedenen Seiten von g oder 
von h und heissen einander konjugiert. 
Insbesondere fallen in den Strahlen gg K 
und hh l konjugierte Strahlen auf ein 
ander. Diese Strahlen nennen wir 
Asymptotenstrahlen A und A, des 
hyperbolischen Strahlsystems. 
Jedes Paar konjugierter Strah 
len liegt harmonisch zu den 
Asymptotcnstrahlen A und A n ins 
besondere entsprechen sich wech 
selseitig die Schenkel der entspre 
chenden rechten Winkel. 
Mit der Beziehung 
tgM • (tgn { t { ) = tg-gs = tg 4 (ÄS) 
ist die harmonische Beziehung von vier 
Strahlen n, n i , A, A, ausgedrückt. Die 
tg (gs) heisst Potenz des hyperboli 
schen Strahlsystems. 
Kap. 2. Konjugierte elliptische und hyperbolische Systeme. 
Elliptische und hyperbolische Punkten- und Kreissysteme gleicher Potenz 
stehen in einer bemerkenswerten Beziehung zu einander. 
Verzeichnen wir (Fig. 110) die beiden Systeme mit gleichen Potenzen auf 
Axen, die im Mittelpunkte M sich senkrecht kreuzen, verzeichnen die