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Auflösung mit dein Messtisch. 
beiden andern zusammen genommen <1 ISO 3 seyn müssen. 
Demnach sind nur zwei Fälle möglich 
a) Es sey keine der Winkelsummen überstumpf. 
b) Es sey eine Winkelsumme z. ii. (b 4- b) überstumpf, 
Zu a) Da keine der genannten Winkelsummcn überstumpf; 
so gehen die beiden Geraden ad und cd nothwendig 
durch das Dreieck und schneiden sich also inner 
halb desselben. Ihr Durchschnitt heisse d und es 
werde b d gezogen. — Weil nun nach der Voraus 
setzung Winkel abd ~ c bc und bc ' ba — bei bd, 
so sind die Dreiecke abd und c bc ähnlich. Demnach 
ist Winkel bdd = bed, lolglich sind die Punkte 
b, a, d, c in Einem Kreise, und ist also auch ebd —c d a. — 
Zieht man nun bl) so sind auch die beiden Dreiecke 
a ca und beb! ähnlich, weil wieder ihre Winkel an c 
gleich und cd I ca — cb l cd. Deshalb muss auch 
ebb' — cd a seyn, und also b b’ auf bd fallen; folg 
lich muss zu 1) bl! durch d gehn, und müssen zu 
2) die erwähnten Winkel als S c h e i t e 1 - W i n к e 1 
gleich seyn. 
Zu b) Da (Л + b) überstumpf so können sich ad und cc\ 
nur ausserhalb des Dreiecks abc schneiden. — Die 
beiden Dreiecke abd und c bc sind aber auch hier 
einander ähnlich weil Winkel abd — c bc — (360° 
— (Jb -f- b)) und bc J ba — bc l bd; demnach ist 
auch bda — bcc. — Hieraus folgt zunächst dass 
acc 4- cad = c -j- bcc -j- a 180’ — bda 
— (360° — (J) 4- b)) = с + а 4* ib -f b) — 180° 
= b <C 180 ist, d. h. dass nothwendig ein Durch 
schnitt d erfolgt welcher in den nöthigenfalls verlän 
gerten a d und с c d e m W inkelAgegeniiber liegt. — 
Es folgt daraus ferner (weil bdd — bda selbst oder 
= 180 3 — bda ist) dass b, a\ d, c in Einem Kreise 
liegen; also auch, wenn bd gezogen wird, dass cd а 
= 180 0, — c bd ist. — Zieht man nun bd so sind 
wieder die Dreiecke beb und d ca ähnlich, weil von 
den ebenso bezeichneten Winkeln jeder = (c + c) 
und cd l cb — ca l cd ist. Deshalb muss auch 
Winkel с а а — ebd sein; d h. ebb = 180 3 — ebd; 
folglich muss zu \) bd in die Verlängerung von d ü