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Wird nun a mit a' und E mit E' durch gerade Linien verbunden, 
so sind die so entstandenen Dreiecke aOa/ und EOE' wegen 3) ähnlich, 
daher aa': EE' — aO: OE, oder wegen 2) 
aa': EE' = aB : BC I, 
d. h. die von den Punkten a und E beschriebenen geraden 
Linien verhalten sich immer wie AB:BC; auch folgt aus I, 
daß aa' mit EE' parallel ist. 
Aber uachdem jede krumme Liuie aus kurzen Gradeu besteheud, ge 
dacht werde» kann, so folgt, daß die Proportion I richtig bleibt, wenn 
a und E was immer für krumme Linien beschreiben; ferner zeigt die Figur, 
daß jede Bewegung von E auch der Punkt a, aber in entgegengesetzter 
Richtung machen müsse. 
Zusatz. Die von a und E beschriebenen Linien werden kongruent, wenn in I aB 
—NE ist, d. h. wenn der Punkt a in A liegt; weil aber AN:AE—1:2 ist, so 
wird in diesem Falle vermöge 1) auch NO:EE—1:2, somit 60 — ^ = BE; 
damit nun 0 mit F nicht zusammen falle, so ist es nöthig, NF größer als NE 
zu machen. 
Dritter Satz. Setzen wir voraus, die Linie AB—BC=d sei in n 
gleiche Intervalle eingetheilt, aB erlthalte x solche Theile, so können wir 
aus 1) die Länge der Linie OB finden, damit 0 mit a und E in einer 
geraden Linie liege. 
Zufolge dieser Proportion verhält sich x:(x-j-n)—B0:2ä, daher ist 
2*"* .4). 
BO 
P+ n 
Ist z. B. ä—12 Zoll, aber in 60 Intervalle getheilt, und enthält 
aB 20 solch- Theile, so ist 0B =~ 2 fr^~=e Z°». 
Vierter Satz. Die in dem zweiten Satze bewiesene proportionale 
Bewegung zwischen den Punkten a und E läßt sich noch auf eine zweite 
Art hervorbringen. 
Ist nämlich Fig. 64 ABCD ein gleichseitiges Parallelogramm, ferner 
BF—AG und die Linien AB, 
FG, CD um ihre Endpunkte be 
weglich, so wird in jeder Lage 
sowohl ABFG als FGCD ein 
Parallelogramm bleiben; ist nun 
der Durchschnitt O zwischen der 
Diogouale AC und der Linie FG 
ein sirer Punkt, um den sich das 
Parallelogramm ABCD drehen 
kann, und stellt uns A'B'C'D' 
eine zweite Lage desselben vor, 
wo also B'F'—A'G'—BF ist, so 
folgt, weil das Dreieck AOG mit 
ACD ähnlich ist, 
AO: OC—AG: GD 5) 
eben so ist A'OG' mit A'C'D' 
ähnlich, daher A'O: OC'—A'G': G'D'.