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2« PARTIE. — CONSTRUCTION ET USAGE DES PROJECTIONS. 
Soit ab (iig. 94) un élément de loxodromie qui coupe les deux 
méridiens infiniment rapprochés Pua, Vbfi ; menons le parallèle ab' 
du point a. Pour que l’angle abb' soit conservé sur la carte en ABB', 
il faut que l’on ait 
BB' __ AB' 
bb' ab' * 
Or puisque les méridiens sont représentés par des droites perpendi 
culaires à l’équateur OE et équidistantes, l’élément AB' est égal à 
l’élément correspondant a(3 de l’équateur développé; nommons ds un 
élément du méridien de la terre, dS l’élément correspondant du mé 
ridien de la carte, l la latitude de l’extrémité de l’arc elliptique S dont 
l’origine est à l’équateur, r le rayon du parallèle dont la latitude 
est l, a celui de l’équateur, c’est-à-dire le grand axe de l’ellipse, e le 
rapport de l’excentricité au demi grand axe (e = 
L’égalité précédente devient 
dS a{3 a 
ds ab' r’ 
ou 
rf S =.. 
P.flS / ( \ P 2 Qin 2 
cos/(l — e 2 sin 2 /) * 
Pour avoir la longueur S il suffira d’intégrer le second membre 
de cette égalité. Multiplions au numérateur e 2 par sin 2 1 -f cos 2 ï = 4, 
nous pourrons alors écrire 
adl „ e 2 cos/ 
cos / (1 •— e 2 sin 2 /) 
d’où, en prenant les intégrales entre l’équateur et la latitude î, 
L’intégration donne immédiatement en logarithmes vulgaires 
formule dans laquelle M, module des logarithmes décimaux, est égal à 
4 
= 0,4342945. 
log népér. de 10