Dalla equazione r sen z = costante, ovvero 
A 
. cos cp. sen 2 = costante, 
osservando che 
d A e 2 sen qp cos cp dcp 
ds A ds 
si ottiene facilmente 
o anche 
dz A 
-r— = — tg qp sen z, 
ds a 
dz tg cp sen z 
ds ~ N 
Differenziando di nuovo si otterrà: 
d ì cp 
ds* 
a* (1 — e*) 
tg qp sen 3 z + 
3 
2 1 
sen 2qp cos 
d*6 A* . sen 2z 
' tgcp 
ds a 2 
dPz A' 2 
cos cp 
sen z cos z 
d? cp 
dtP 
ds 2 a 
Una terza differenziazione dà : 
A 
1 -f 2 tg 2 qp -f cos 2 cp 
a 3 (1 — c 2 ) 
e 2 
COS 2 
(1 + 3 tg 2 qp) sen 3 z + 
+ ( 3 cos 2qp cos 2 ,sr —(1 — 10 sen 2 cp) sen 3 z) — 
e* 
— ^ ^ (6 sen 2 qp — 1) cos *qp cos *z 
d 3 Q 2 A 3 sen z | , , „ „ 
~ds» — ~aP cos cp |_( 1 + 3 *8 ( P) cos ^ 9 sen -f j—^cos 2 qp cos : 
dPz A a tg cp 
d .S' 3 
sen 
(5 4- 6 tg 2 cp) cos *z — (14-2 tg 2 cp) sen 
+ Y—é 1 cos 2(p cos ~~ 4 (~f ¿Lf cos 4( P cos * z 
Differenziando di nuovo le precedenti espressioni e trascurando 
quei termini il cui ordine è superiore al 5° si ottiene :