§ 60. Ableitung der Grundformeln. 
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, , V , , , m' n' 
x' —a = r — , y —b = r ——, z —c = r — T , 
1" m" n" 
(11) { x" — a = r" —, y" — b = r" —— , z" — c — y" —— , 
Q Q Q 
1 /// All fff ,11 fff 
x'"— a = r"'— t , y"'—b = r'"—^, z'"—c = r'"— r . 
Q O Q 
Von diesen nenn Gleichungen sind aber drei die Folge 
der übrigen, da die Beziehungen bestehen: 
(12) 
(x' — a) 2 + (y' 
(x" — a) 2 + {y" 
(x" f - a) 2 + {y"‘ 
b) 2 + (z' -c) 2 ^r' 2 , 
b) 2 + (*" _ C )2 = r"2 ; 
b) 2 + (z'" - c) 2 = r'" 2 . 
Zur Bestimmung der Unbekannten a, b, c, r', r", r'" 
sind also sechs unabhängige Gleichungen vorhanden. 
Man kann dieselbe Aufgabe aber auch als eine Ver 
allgemeinerung der Pothenotscheu auffassen. 
Aus (6) und (7) folgt durch Einsetzung der gestrichenen 
Buchstaben: 
(13) 
Wenn A und die Winkel (3) gegeben, £'■)}', £"rj", !•'"rj'" 
gemessen sind, so sind m' m" m'", n'n" n'" und 
o' q" q'" bekannt. Damit kann man die Richtungskosinusse 
der Strahlen OP', OP",OP'" nach (13) berechnen und infolge 
dessen die Winkel, welche diese Strahlen untereinander bilden: 
cos {OP', OP") — COS/l' cos/l" -f cos fi' cos /i" + cosr' cosr" , 
(14) * cos (0P" , 0P'") = cos X" cos X'" + cos fi" cosfl'" -f- COS V " COS V'", 
.cos(OP'", OP') = cosX'"cosX' + COS fl'"COS fl' + cos r "'cos r'. 
Wenn sich die vier Punkte 0 , P', P", P'" in einer 
Ebene befinden, so liegt die Pothenot sehe Aufgabe vor. In 
1' 
m' 
cos!' = 
—j ’ 
COS/l' = 
~~r ’ 
cosv' = 
Q 
Q 
l" 
m" 
cosX" = 
V 
COS fl" = 
cosv" = 
V" 
m'" 
cosX'" = 
~tff ) 
COS fl'" = 
~m > 
cosv'" = 
Q 
Q