514 
Die wissenschaftlichen Grundlagen dei’ Geländedarstellung. 
Verhältnis von Weiß und Schwarz für die Ausübung und den Gebrauch zu schwierig 
sei, und sodann, daß für die steilem Abdachungen zu große Unterschiede und für 
die flachen zu geringe zur Darstellung kamen. Gerade die von 0—10° geneigten 
Flächen verlangen mehr Unterschiede, da sie auf der Erdoberfläche häufiger auf- 
treten und für die Kultur der Menschheit wichtiger sind als die von 20°—45° geneigten. 
Lehmann geht nun weiter dem Gedanken nach, ob es nicht zweckmäßiger sei, das 
Verhältnis des Schwarzen zum Weißen auf die Sinus der Flächenwinkel zu gründen, 
die für die flachen Winkel mehr Unterscheidung geben als die steilem. Doch kam 
er auch hier zu keinem befriedigenden Endergebnis; denn gerade das leicht Faßliche 
und das leicht Anwendbare sollte sein System auszeichnen. Darum stellte er kurz 
entschlossen folgenden Satz auf: ,,Die Stärke der Beleuchtung verhält sich umgekehrt 
wie die Größe der Flächenbeleuchtung selber“, oder was dasselbe im Hinblick auf 
sein System ist: ,,Die Menge des Schwarzen zur Menge des Weißen verhält sich wie 
der gegebene Winkel zu seinem Erfüllungswinkel (wir sagen heute „Ergänzungs 
winkel“) auf 45°.“ Beispielsweise verhält sich bei einem Flächenwinkel von 2° das 
Schwarz zu Weiß wie 2 : (45 — 2) = 43 oder 1 : 21, und umgekehrt bei 43° wie 21:1 
oder 43 : 2 = (45 — 2) : 2. 
Zu dem Satz über das Verhältnis von Weiß zu Schwarz bei geneigten Flächen 
gelangte Lehmann weniger durch das physikalische Gesetz der Beleuchtung geneigter 
Flächen als vielmehr durch ein anderes der 
Physik, das katoptrische der einfallenden und 
zurückgeworfenen Lichtstrahlen. Er nahm eine 
glatte Kugeloberfläche an, die von senkrechten 
parallel verlaufenden Lichtstrahlen getroffen 
wird. In Bild 4 seien x, y, z, s die senkrecht 
einfallenden Lichtstrahlen. Punkt a erscheint 
dem in perpent-ikularer Richtung darüber be 
findlichen Auge am hellsten, weil der auf diesen 
Punkt fallende Strahl in gerade Richtung in 
sich selbst zurückkehrt. Die in b, c ... n auf 
fallenden Lichtstrahlen werden unter gleichem 
Einfallswinkel in schiefer Richtung zurück 
geworfen. Je mehr dieser Einfallwinkel zu 
nimmt, um so schräger erscheinen die be 
leuchteten Punkte dem Auge, bei einem Ein 
fallwinkel von 45° wird der Strahl in horizon 
taler Richtung ns reflektiert, d. h. Punkt n erscheint unbelichtet und muß, für 
den Zweck der Situationszeichnung betrachtet, mit vollem Schwarz gezeichnet 
werden. 
Aus vorstehenden Erörterungen ist ohne weiteres zu schließen, daß sich 
das Schwarz zum Weiß auf geneigten Flächen verhält wie die Refraktions 
winkel der Lichtstrahlen zu ihrer Ergänzung zu 90°, oder was das gleiche ist: 
wie die doppelten Neigewinkel der Ebenen zu ihren Ergänzungswinkeln, zu 90°, 
oder wie der Neige winkel selbst zur Ergänzung von 45°; denn es ist: 4caob — 
«$zybk = ^ckb y', und da y b k = 1 / 2 *~£ y b y', ist folglich a ob = 1 / 2 y b y'. 
Mithin sind 2 ^caob= -^zy b y', ebenso 2 *$caoc — *$zzcz' und schließlich 
2 «£: n 0 n = ^fzs n s'.