§. 13. Theilbarkeit der Zahlen. 
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4- cx 1 für x = m eilte Primzahl p crgiebt. so hat für x = m -f py 
dieselbe Formel den Werth 
a + b(m + Py) + c(m + py) 2 
— a -1- hm + cm 2 4~ bpy -f" 2cmpy -f- cphy 2 
— P 4" (P 4" 2cm)py -f* cp 2 y 2 
der durch p theilbar, also keine Primzahl ist (Legendre Illsorlo Ü68 
nombres Introd. 20). 
1). Eine Zahl, welche durch andere Zahlen außer 1 theilbar ist, 
kann als Product von bestimmten Primzahlen (einfachen Factoren) dar 
gestellt werden und heißt zusammengesetzt aus diesen Primzahlen. 
Die allgemeine Formel einer aus den Primzahlen a, b, c, . . zusam 
mengesetzten Zahl ist a cl bßcY . . . 
Eine aus den Primzahlen a, b, c, . . zusammengesetzte Zahl ist 
durch eine andere Primzahl p nicht theilbar, mithin aus andern Prim 
zahlen nicht zusammensetzbar. Denn jede der Zahlen a, b, c, . . ist 
prim zu p, folglich ist auch das Product a a bß cY . . prim zu p (6). 
10. Wenn die Zusammensetzung gegebener Zahlen aus Prim 
zahlen bekannt ist, so läßt sich ohne Weiteres erkennen, ob eine der 
Zahlen durch eine andere theilbar ist; welches ihr kleinster gemeinschaft 
licher Dividuus ist; welches ihr größter gemeinschaftlicher Divisor ist; 
ob dieselben Potenzen sind. 
Die Zahl TV ist durch TV, theilbar, wenn TV, weder andere ein 
fache Factoren, noch einen derselben in größerer Anzahl hat als N. 
Wenn nämlich ab durch «, 6, theilbar ist, während «, in a ausgeht und 
S, prim zu a ist, so ist b durch b { theilbar. Denn es sei a — a x c, 
also ist auch cb durch 6, theilbar und S, prim zu c, folglich geht b { 
in b auf (4). Z. B. 360 = 2 3 . 3 2 . 5 ist durch 24 = 2 3 .3 theilbar, 
nicht durch 48 = 2 4 . 3, nicht durch 63 = 3 2 . 7. Ein irreducibler 
Bruch kann nur dann in einen endlichen Decimalbruch verwandelt wer 
den, wenn sein Nenner von der Form 2". 5^ ist. 
Der kleinste gemeinschaftliche Dividuus von TV, TV,, TV 2 , . . wird 
gesunden, indem man jedem von den einfachen Factoren dieser Zahlen 
unter den Exponenten, die er in TV, TV,, TV 2 , . . hat, den größten 
giebt und das Product dieser Potenzen bildet. Z. B. 3 . 5 . 7, 
2 3 .7, 2.3 2 , 2 3 .3 haben den kleinsten gemeinschaftlichen Dividuus 
2» - 3 2 .5 . 7. 
Der größte gemeinschaftliche Divisor von TV, TV,, TV 2 , . . wird ge 
sunden, indem man die einfachen Factoren auswählt, welche TV, TV,, 
N 2 , . . gemein haben, jedem derselben unter den Exponenten, die er in 
TV, TV,, TV 2 , . . hat, den kleinsten giebt und das Product dieser Potenzen