§. 13. Theilbarkeit der Zahlen. 
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3 . 2 — 6 = 1 + *2 + 3 
7 . 4 = 28 = 1 “I - 2 -|— 4 -}“ 7 —(~ 14 
31 . 16 = 496 = 1 + 2 + 4 -f 8 + 16 + . . . 
Wenn nämlich 2 X — 1 eine Primzahl ist, so ist die Summe aller Divi 
soren von (2* — 1) . 2 X ' 1 mit Einschluß der Zahl selbst 
(1 + 2 X — 1)(1 + 2 + 2 2 + . . 4- 2 X ' 1 ) 
= 2 X (2 X — 1) = 2(2 X — 1) . 2 X_1 
also nach Ausschluß der Zahl (2 X — 1) . 2*'* gleich derselben Zahl. 
Zwei Zahlen sind amicabel genannt worden, wenn jede der 
Summe der Divisoren der andern (die Zahl selbst ausgeschlossen) gleich 
ist z. B. 220 und 284. 
12. Wenn p, q, r, . . die Primzahlen bedeuten, durch welche das 
Product ABC . . theilbar ist, wenn unter den Zahlen Ä, B', C, . . 
durch p, p 2 , . ., q, q 2 , . ., r, r 2 , . ., . . mindestens ebensoviele 
theilbar sind, als unter den Zahlen A, B, 0, . ., so ist das Product 
ÄB'C . . durch das Product ABC . . theilbar*). , 
Z. B. unter den Zahlen 3, 4, 5, 6, 9 sind 2 durch 2, 1 durch 
2 2 , 3 durch 3, 1 durch 3 2 , 1 durch 5 theilbar. 
Unter den Zahlen 12, 18, 45 sind 2 durch 2, 1 durch 2 2 , 3 durch 
3, 2 durch 3 2 , und 1 durch 5 theilbar. 
Da die letztern Anzahlen der Reihe nach nicht geringer sind, als 
die erstern, so ist 12 . 18 . 45 durch 3 . 4.5 . 6.9 theilbar. 
Beweis. Unter den Zahlen A, B, C, . . seien a durch p theil- 
bare, ß durch p 2 theilbare, y durch p 2 theilbare u. s. f. Dann ist das 
Product ABC . . zunächst durch p u theilbar, der gefundene Quotient 
ist wiederum durch p@ theilbar, der neue Quotient durch p r , u. s. w. 
Das Product ABC . . enthält also « + ß + y + .. Factoren p. Von 
gleicher Bedeutung seien die Anzahlen d, ß', y, . . für die Zahlen 
Ä, B', C, . . . Nun sind nach der Voraussetzung ß' f y der Reihe 
nach nicht geringer als «, ß, y, . ., also ist d ß' + y + . . nicht 
geringer aiü a + ß + y + . ., t). ÄB’C . . enthält nicht weniger 
Factoren p als ABC . . . Aus denselben Gründen enthält ÄB'C . . 
nicht weniger Factoren q, r, . . als ABC . . . Daher ist ÄB'C . . 
durch ABC . . theilbar (10). 
13. Wenn eine beliebige Zahl der Reihe 1, 2, 3, . ., m durch fe, 
und die ganze Zahl des Quotienten m : k durch m bezeichnet wird, so 
sind m Zahlen der Reihe durch k theilbar, nämlich k, 1k, . ., ml. 
Wenn ferner die ganze Zahl des Quotienten m : k durch m bezeichnet 
*) Die in (12) und (13) enthaltenen Sätze sind von Gauß (Di8q. arithm. 
126. 127. 41).