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Allgemeine Arithmetik. 
wird, so sind m Zahlen der Reihe 1, 2, . m durch k theilbar, 
mithin sind m" Zahlen der gegebenen Reibe durch k 2 theilbar. U. s. w. 
In der Reihe von ebensoviel folgenden Zahlen « -f- l, a -j- 2, . ., 
a 4- m giebt es mindestens m , höchstens m -4 1 durch k theilbare 
Zahlen. Die kleinste durch k theilbare Zahl der Reihe, welche durch 
«4-c bezeichnet wird, kann « 4- k nicht übersteigen. Also enthält 
die Reihe die durch k theilbaren Zahlen 
« 4- c‘ t a 4- c 4- k f . , r a 4~ 6 4- (m — l)fc 
und außerdem « -f c -f m'k, wenn 6 klein genug ist. 
Das Product (a + l)(a + 2) . . (a 4- m) ist durch das Product 
1.2... m theilbar. Wenn nämlich das zweite Product aus den 
Primzahlen p, q, r, . . zusammengesetzt ist, so sind unter den Zahlen 
«4- 1, « 4- 2, . ., a 4- m mindestens ebensoviel^' durch p, p 2 , . ., 
q, q 2 , . ., r, r 2 , . . theilbar, als unter den Zahlen 1, 2, . ., m, folg 
lich u. s. w. (12). Der Quotient des ersten Products durch das zweite 
ist eine figurirte Zahl (§. 28), mithin eine Summe von ganzen Zahlen, 
also auch aus diesem Grunde eine ganze Zahl. 
Wenn m — a 4- b + c 4- • •, so ist 1.2.3... m durch das Product 
1.2 . «.1.2. ..¿.1.2. ..6... 
theilbar, weil 1.2... a durch 1 . 2 . . . a, (« 4- 1) • . (« 4~ b ) 
durch 1 . 2 . . . b, (a + b 4- 1) . . (a 4~ b 4- c) durch 1 . 2 ... c, 
u. s. f. theilbar ist. Der Quotient ist durch m theilbar in dem Falle, 
daß m eine Primzahl ist. Der Quotient ist die Anzahl von Permuta 
tionen gewisser Elemente (§. 25, 4) und auch aus diesem Grunde eine 
ganze Zahl. 
14. Wenn die Zahl m die Divisoren «, ¿, c, . . hat, welche prim 
zu einander sind (jeder zu jedem der übrigen), so giebt es in der Reihe 
1, 2, 3, . ., m 
Zahlen, die durch «, ¿, c, . . nicht theilbar sind *). 
Beweis. In der gegebenen Reihe giebt es ~ Zahlen, welche 
durch a theilbar sind, nämlich «, 2«, 3«, . ., —«, folglich bleiben 
m (a 1\ 
m — — — ml — — 
a \ aj 
Zahlen übrig, welche durch « nicht theilbar sind. 
*) Euler 1763 Nov. Comm.Petrop. 8 p. 74. ActaPetrop. 4, II p. 18. 8 p. 17. 
Bergt. Gauß Disg. aritüru. 38. D i rich let Zahlentheorie von Dedekind §. 11 ff.