§. 13. Theilbarkeit der Zahlen. 
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in nach dem größten Divisor, welchen sie mit m gemein haben, gruppirt. 
In die Gruppe derjenigen Zahlen, welche mit m den größten gemein 
schaftlichen Divisor haben, gehören cp(^ ™ J Zahlen; in die Gruppe 
derjenigen Zahlen, welche mit m den größten gemeinschaftlichen Divisor 
haben, gehören <P(p-) Zahlen, u. s. w. Die Summe dieser An 
zahlen "ch . . ist m, die Menge der vertheilten Zahlen. 
Die Reihe umfaßt aber alle Divisoren von m. 
d ( °2 
Diese Abzählung wird durch folgende Rechnung bestätigt. Es sei m 
aus den Primzahlen a, b, c zusammengesetzt und zwar m = a a b ß c Y . 
Ein Divisor ö dieser Zahl ist von der Form a l b Y c v , wenn X eine Zahl 
der Reihe 0. 1, 2, . a bedeutet, ft eine Zahl der Reihe 0, 1, 2, 
. ., ß und v eine Zahl der Reihe 0, 1, 2, . ., y. Nun ist (15) 
cp(8) = <x(c?) q>{bt*) cp(c v ) 
Also stimmt die Summe aller Werthe von g>(<5), welche zu den ein 
zelnen Werthen von X, ft, v gehören, mit dem Product der Reihen 
9(1) + cp(a) + cp(ct 2 ) + . . + 9(«") 
9>( 1) + 9@) + 9(^ 2 ) + . . + cp(b ß ) 
9(1) + q>(c) + <p(c 2 ) + • • + <P(c y ) 
überein. Die erste Reihe hat den Werth 
1 -\- (a — 1) -f- a(a — 1) -f- . . -j- a c< ~^ (« — 1) 
= 1 + (a — 1)(1 + « + .. + a“' 1 ) 
= 1 + («“ — 1) = a K 
Die zweite und dritte Reihe haben die Werthe b ß und c r . Daher ist 
die Summe aller Werthe von cp (8) d. i. das Product der Reihen — 
a (t b ß cY — in. 
Beispiel. Die Zahl 00 hat die Divisoren 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 
12, 15, 20, 30, 60. 
9(1) 
1 
9(5) 
4 
9(15) 
9>( 2) 
1 
9(6) 
2 
9(20) 
9(3) 
2 
9(10) 
4 
9(30) 
9(4) 
2 
9(12) 
4 
9(60) 
Die Summe dieser Anzahlen ist 60. 
17. Jede Zahl a kann durch ein Vielfaches einer gegebenen posi 
tiven Zahl k und durch eine Zahl r der Reihe 0, 1, 2, . ., k — 1 
ohne Ausnahme und aus eine Weise dargestellt werden, daß a = sk + r.