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Allgemeine Arithmetik. 
Wenn p eine ungerade Primzahl ist, und wenn a und b Zahlen 
der Reihe 1, 2, . \{p — 1) bedeuten, so sind a 2 und b 2 nach dem 
Modul p incongruent; wäre « 2 — & 2 = (« b)(a — b) durch p 
theilbar, so müßte, weil a — b prim zu p ist, a -f- b durch p theilbar 
sein, gegen die über « und b gemachte Voraussetzung. Daher giebt es 
nicht weniger als \{p — 1) quadratische Reste von p. 
23 Wenn p eine Primzahl und « durch p nicht theilbar ist, so 
können die Zahlen 1, 2, . p — 1 so gepaart werden, daß die ans 
den einzelnen Paaren gebildeten Producte nach dem Modul p mit « 
congruiren. Wenn insbesondere « ein quadratischer Rest von p ist, so 
giebt es in der Reihe 1, 2, . ., p — 1 zwei zu p sich ergänzende 
Zahlen, welche mit sich selbst Paare von der angegebenen Art bilden*). 
Beispiel. Die quadratischen Reste von 7 sind 1, 2, 4; daher 
gehört 12 zu den Nichtresten, 9 zu den Resten. Aus den Zahlen 1 bis 
6 lassen sich 3 Paare bilden, so daß die aus den Paaren gebildeten 
Producte nach dem Modul 7 mit 12 congruiren, und 4 Paare, so daß 
die Producte mit 9 congruiren. In der That sind nach dem Modul 7 
1 . 5 == 2 . 6 — 3. 4 = 12 
1 . 2 es 3 . 3 = 4 . 4 == 5 . 6 = 9 
Beweis. Wenn m eine der Zahlen 1, 2, . ., p — 1 bedeutet, 
also prim zu p ist, so haben die Zahlen m, 2m, . ., (p — l)m nach 
dem Modul p verschiedene Reste aus der Reihe 1, 2, — 1 (19). 
Einer dieser Reste ist aber auch der Rest von « nach dem Modul p, 
weil « durch p nicht theilbar ist. Also giebt es unter den Producten 
vi, 2m, . ., (p — l)m eines und nicht mehr als eines, das mit a nach 
dem Modul p congruirt. 
Wenn a ein quadratischer Rest von p ist, so giebt es eine und 
nicht mehr als eine Zahl k der Reihe 1, 2, . ., -§(p — 1), welche mit 
sich selbst ein Paar bildet von der Art, daß k 2 = «, mod p (22). 
Zugleich ist dann auch (k — p) 2 = «, mod p. 
24. Wenn p eine Primzahl und « durch p nicht theilbar ist, so ist 
1 . 2 . 3 . . . (p — 1) == sai(p-D 
wo s den Werth 1 oder —1 hat, je nachdem « von p ein quadra 
tischer Nichtrest oder ein Rest ist. 
Beweis. Wenn « ein Nichtrest von p ist, so lassen sich die 
Zahlen m, m lr m 2 , . . der Reihe 1, 2, . ., p — 1 mit andern Zahlen 
n, n u n 2 , . . derselben Reihe dergestalt paaren, daß (23) 
ran == m i n i ~ m 2 n 2 — . . = «, mod p 
*) Diesen Satz und die Beweise der folgenden Sätze verdankt man Dirichlet 
Crelle I. 3. p. 390.