§. 16. Lehrsätze von den Quadratwurzeln. 
Z. Die Quadratwurzel eines Polynominm ist vou dem Aggregat 
der Wurzeln der einzelnen Glieder verschieden. 
-\sa — -\sb Y a -s- ö <C ~\f b 
lveil ("ysa — Yb) 2 <C a H- b <[ (Y a ~\~ Yb) 2 - l§s ist aber 
Y x + Y,y - YW x ± Yy) 1 = V x W y 5 % v - r u 
also z. B. 
y a -J- b -[- Y a — b = | 2« ^lY a 2 — b 2 
Y a + b — Y a — b = V2a — ^Ya 2 ^-! 2 
woraus durch Addition und Subtraktion folgt: 
-2 1 A a — Y a 1 — b 2 
- + I —rr ' 
fe'2 - Ya 2 — b 2 
a -f- Ya 2 
2 
2 
Beispiel. |As + 2/15 
y 5 + y 3 
a 2 — b 2 4 
Ya 2 — b 2 2 
U a + Y) 5 
y(a — Y) 3 
a \ 8 
b 2 y 15 
a 2 64 
b 2 60 
Die Quadratwurzel eines Polynomium kann gliedweise nach der 
Methode entwickelt werden, welche zur Berechnung der Quadratwirrzel 
einer Decimalzahl dient (§. 15, 3. Bergt. §. 12, 4). 
4. Die Quadratwurzel einer ganzen Zahl ist entweder ganz oder 
irrational*) d. h. durch Brüche nicht genau angebbar, aber begrenzbar 
mit beliebig kleinem Fehler. 
Beweis. Wäre /« = ein irreducibler Bruch (§, 13, 3), 
/ y, , 2 tp 2 ^ 
so wäre - 1 = -2 (§. 11, 5) = a (§. 15, 1). Nun ist - 2 irreducibel 
\ S j 6' “ s 
(§. 13, 6), mithin a keine ganze Zahl gegen die Voraussetzung. Also 
kann Y a durch einen Bruch nicht genau angegeben werden. Zu jeder 
willkürlich gewählten ganzen Zahl § läßt sich eine bestimmte ganze Zahl 
r ermitteln, so daß 
*) aloyoq, o-qq^xoc. surdus. Das letztere Wort, welches bei Leonardo 1202 
(über abaci fol. 160) vorkommt und noch im 18ten Jahrh, gebräuchlich ist, war 
vermuthlich die Uebersetzung der arabischen Uebersetzung des griechischen Kunstwortes. 
Die Jrranonalität ist von der Pythagoreischen Schule bemerkt worden und bei Plato