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Allgemeine Arithmetik.
Dadurch findet inan für Y a den Näherungswerth — mit einem Fehler,
. . 1
der geringer ist als - .
s
Anmerkung. Die durch Brüche genau angebbaren Zahlen heißen
rational (Qrjtog). Die Quadratwurzel einer ganzen Zahl kann ein
periodischer Decimalbruch nicht sein, weil dessen Werth rational ist.
5 Jede Quadratwurzel ist zweideutig (biformis), d. h. ihr Werth
kann sowohl positiv als negativ genommen werden. Wenn b ein Werth
von y a ist, so ist auch —b ein Werth von Ya, weil (—b) 2 = b 2
(§• 9, 2).
■j/49 = + 7, yet“ — + a. Das Doppelzeichen wird nöthig,
sobald man das Wurzelzeichen nicht mehr schreibt. Das Product von
Wurzeln y a yb ist zweideutig wie V ab (1), nur ya y a = Ya 2 = a
ist eindeutig. Die Summe Ya + Yb ist vierdeutig.
6. Die Quadratwurzeln negativer Zahlen sind imaginär, d. h.
sie können durch Multiplication und Division aus der irreduciblen
Y— l abgeleitet werden, welche die positive oder negative imaginäre
Einheit genannt und durch + i bezeichnet wird*). Nach (1) setzt mau
Yxy — Yx yy auch in dem Falle, daß x und y nicht beide positiv
sind, also
— a — y (— i )a — y — i y a — ¡y a
Y — 81 = + 9r, Y— b 2 — Y ib, Ya — l) = i Yb — a
Die Quadratwurzel der negativen Einheit ist irreducibel, weder 1, noch
— 1, noch eine von 1 oder — 1 verschiedene positive oder negative
Zahl, weil die Quadrate dieser Zahlen von — 1 verschieden sind.
Die aus 1 und — 1 durch Multiplication und Division abgelei
teten Zahlen heißen reale Zahlen im Gegensatz zu den aus i und — i
abgeleiteten imaginären Zahlen. Die Reihe der realen und die Reihe
der imaginären Zahlen haben nur die Null gemein. Bei der nach (1)
Gegenstand mehrfacher Betrachtung. Eine ausführliche Abhandlung über das Irra
tionale liegt im tüten Buche von Euclid's Elementen vor. Aus dieser Quelle
wurden die obigen Sätze von den Wurzeln abgeleitet.
*) Die imaginären Zahlen sind seit der algebraischen Auflösung der cubischen
und biquadratischen Gleichungen in Betrachtung gezogen worden. Vergl. Klügel
math. W. I, p. 37 ff. Man nannte sie „unmöglich", weil sie durch die realen
Zahlen nicht ausgedrückt werden können, gleichwie man vor der Einführung der
negativen Zahlen Differenzen mit überwiegenden Subtrahenden als unmöglich (falsae)
verwarf. Die Ausdrücke real, imaginär kommen zuerst bei Descartes (Gr6om. III)
vor als Prädicate der Wurzeln von Gleichungen. Das Zeichen i ist von Gauß
Di8<p arithin. 337 eingeführt worden.