Full text: Gemeine Arithmetik, Allgemeine Arithmetik, Algebra (1. Band)

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Allgemeine Arithmetik. 
Dadurch findet inan für Y a den Näherungswerth — mit einem Fehler, 
. . 1 
der geringer ist als - . 
s 
Anmerkung. Die durch Brüche genau angebbaren Zahlen heißen 
rational (Qrjtog). Die Quadratwurzel einer ganzen Zahl kann ein 
periodischer Decimalbruch nicht sein, weil dessen Werth rational ist. 
5 Jede Quadratwurzel ist zweideutig (biformis), d. h. ihr Werth 
kann sowohl positiv als negativ genommen werden. Wenn b ein Werth 
von y a ist, so ist auch —b ein Werth von Ya, weil (—b) 2 = b 2 
(§• 9, 2). 
■j/49 = + 7, yet“ — + a. Das Doppelzeichen wird nöthig, 
sobald man das Wurzelzeichen nicht mehr schreibt. Das Product von 
Wurzeln y a yb ist zweideutig wie V ab (1), nur ya y a = Ya 2 = a 
ist eindeutig. Die Summe Ya + Yb ist vierdeutig. 
6. Die Quadratwurzeln negativer Zahlen sind imaginär, d. h. 
sie können durch Multiplication und Division aus der irreduciblen 
Y— l abgeleitet werden, welche die positive oder negative imaginäre 
Einheit genannt und durch + i bezeichnet wird*). Nach (1) setzt mau 
Yxy — Yx yy auch in dem Falle, daß x und y nicht beide positiv 
sind, also 
— a — y (— i )a — y — i y a — ¡y a 
Y — 81 = + 9r, Y— b 2 — Y ib, Ya — l) = i Yb — a 
Die Quadratwurzel der negativen Einheit ist irreducibel, weder 1, noch 
— 1, noch eine von 1 oder — 1 verschiedene positive oder negative 
Zahl, weil die Quadrate dieser Zahlen von — 1 verschieden sind. 
Die aus 1 und — 1 durch Multiplication und Division abgelei 
teten Zahlen heißen reale Zahlen im Gegensatz zu den aus i und — i 
abgeleiteten imaginären Zahlen. Die Reihe der realen und die Reihe 
der imaginären Zahlen haben nur die Null gemein. Bei der nach (1) 
Gegenstand mehrfacher Betrachtung. Eine ausführliche Abhandlung über das Irra 
tionale liegt im tüten Buche von Euclid's Elementen vor. Aus dieser Quelle 
wurden die obigen Sätze von den Wurzeln abgeleitet. 
*) Die imaginären Zahlen sind seit der algebraischen Auflösung der cubischen 
und biquadratischen Gleichungen in Betrachtung gezogen worden. Vergl. Klügel 
math. W. I, p. 37 ff. Man nannte sie „unmöglich", weil sie durch die realen 
Zahlen nicht ausgedrückt werden können, gleichwie man vor der Einführung der 
negativen Zahlen Differenzen mit überwiegenden Subtrahenden als unmöglich (falsae) 
verwarf. Die Ausdrücke real, imaginär kommen zuerst bei Descartes (Gr6om. III) 
vor als Prädicate der Wurzeln von Gleichungen. Das Zeichen i ist von Gauß 
Di8<p arithin. 337 eingeführt worden.
	        
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