§• 16. Lehrsätze von den Quadratwurzeln. 
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zu verrichtenden Multiplication und Division imaginärer Zahlen hat 
man zu beachten, daß 
1 
i 1 
i 1 ------ i l i - ----- 1 
ii. s. w. Demnach ist ferner 
1 
‘2 
1 
i, 11. ). w. 
3 
7. Die Zahlen, welche die Formel x -\- Y V umfaßt, wenn x eine 
beliebige reale, y eine beliebige negative reale Zahl bedeutet, sind Bino- 
mien von je einem realen und einem imaginären Gliede und werden 
complexe Zahlen genannt*). Die Formel a + ib umfaßt alle Zahlen, 
deren die Arithmetik bedarf; sie enthält die reale Zahl a oder die imagi 
näre Zahl ib, wenn b oder a verschwindet. Unter der Summe oder Dif 
ferenz der Complexen a -f- & und c id ist die Complexe a + c -f- 
i{b + d) zu verstehen. Die Differenz von zwei Complexen verschwindet 
nur dann, und die beiden Complexen sind nur dann einander gleich, wenn 
das reale Glied der einen dem realen Glied der andern und zugleich das 
imaginäre Glied der einen dem imaginären Glied der andern gleich ist. 
Alle Zahlen werden zur Uebersicht auf eine Ebene so gesetzt, daß 
die Puncte (Oerter) der realen Zahlen auf einer Geraden liegen, die 
Puncte der positiven Zahlen in der einen Richtung vom Nullpunkt aus, 
die Puncte der negativen Zahlen in der entgegengesetzten Richtung, und 
daß die Puncte derjenigen Complexen, welche das reale Glied a gemein 
haben, auf einer andern Geraden liegen, welche die erste Gerade in 
dem Puncte der Zahl & rechtwinkelig durchschneidet. Die Puncte der 
imaginären Zahlen befinden sich auf der im Nullpunct errichteten Nor 
male der Geraden, welche die Puncte der realen Zahlen enthält. 
Die Größe (absoluter Betrag, Modul) der Zahl a -f- ib wird 
*) Die complexen Zahlen waren, obgleich bereits D 'Alembert und Euler 1746 
deren Nutzen bei vielen Untersuchungen gezeigt hatten, doch mehr geduldet geblieben 
als anerkannt, bis Gauß den allgemeinsten Begriff der Zahl durch Veranschaulichung 
feststellte. Gott. gel. Anz. 1831, April 23. Veral. 'Lboor. resid biq. 30, wo die 
Ausdrücke „complexe Zahl, Norm derselben" zuerst vorkommen. Eauchy hatte 1821 
(Anal. algebr. c. 7) die Formeln a -j- ib, a — ib „conjugirt" und §die positive 
Quadratwurzel ihres Products ihreir „Modulus" genannt.