§. 23. Potenzen der Binomien mit positiven ganzen Exponenten. 131 
§. 23. Potenzen der Binomien mit positiven 
ganzen Exponenten. 
1. Weil (et + b) m ------ ja^l + — «“^1 + , so kommt 
es zunächst darauf an, die mte Potenz eines Binomium zu entwickeln, 
dessen erstes Glied 1 und dessen zweites Glied ein echter Bruch ist. 
Durch Multiplication findet man 
(1 -s- X) 2 ----- (1 + x)(l + x), (1 4- a?) 3 — (1 a:) 2 (l 
(1 + x) 2 = 1 4~ 2a: 4" X<L 
(1 4~ i<?) 3 == 1 4" 2a: 4~ a;2 
4“ x 4~ 2a: 2 4- a: 3 
1 4“ 3a: 4~ 3a: 2 -f- a: 3 
(1 4~ x ) 4 = 1 4“ 3a? 4“ 3a: 2 4" xZ 
4“ x 4~ 3a: 2 4- 3a: 3 4~ a ? 4 
1 4“ 4a: 4“ 6a? 2 4~ 4a: 3 4“ x4 
u. s. w., also eine nach steigenden Potenzen von x geordnete Reihe. 
Die Coefficienten (§. 4) der einzelnen Potenzen von x heißen Bino- 
mialcoefsicienten, der Ote, Ite, 2te, . . bei der mten Potenz des 
Binomium. Diese sind bei der 2ten, 3ten, 4ten Potenz 
1 2 1 
13 3 1 
1 4 6 4 1 U. s. f. 
Aus der obigen Rechnung folgt, daß die Binomialcoefficienten bei 
der 5ten Potenz Summen von je zwei folgenden Binomialcoefficienten 
bei der 4ten Potenz sind, u. s. f.*). Um aber die Binomialcoefficienten 
bei einer Potenz unabhängig von den Binomialcoefficienten bei niederen 
Potenzen zu finden, muß man dieselben durch den Exponenten der 
Potenz ausdrücken. In der That ist bei der 4ten Potenz des Binomium 
4 — 4, 6 = 4. I, 4 = 4. f.f 
bei der 5ten Potenz 
5 = 5, 10 = 5. f, 10 = 5 . f . f, 5 = 5 . f . f . f 
Danach ist zu prüfen, ob bei der mten Potenz die Binomialcoefficienten 
4 m{m —> 1) m[m — 1) (m — 2) 
1/ m t ^ 2 ' \ 2 3 f ' ' 
sich ergeben, so daß man hätte: 
*) Eine so construirte Tabelle der Binomialcoefficienten (triangulus arithme- 
ticus bei Pascal) findet sich bereits bei Stifel arithm. 1544 sol. 44. 
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