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Allgemeine Arithmetik.
2. Von n verschiedenen Elementen giebt es
n\
n(n — 1) . . (n
n(n — 1) . . (n
k + 1)
L + 1)
(n — fc)!
Variationen Lten Grades
1. 2 .. k
= \ j c ) Combinationen Lten Grades.
Beweis. Um ans den Variationen ^ten Grades die Variationen
(k -)- 1)ten Grades zu bilden, setze man zu jeder Variation jedes Element,
das sie noch nicht enthält. Man erhält also (n — L-)mal soviel Varia
tionen (L -s- l)ten Grades als Lten Grades. Nun giebt es n Variationen
Iten Grades, folglich n(n — l) Variationen 2ten Grades, n{n — l)(n—2)
Variationen 3ten Grades, u. s. f.
Die Variationen Lten Grades lassen sich in Gruppen so vertheilen,
daß die Variationen jeder Gruppe Permutationen derselben k Elemente
sind. Da zu jeder Gruppe 1 . 2 ... k Variationen gehören (§. 24, 2),
so giebt es den (1.2... L)ten Theil so viel Gruppen als Variationen
Lten Grades. Jeder Gruppe entspricht eine Combination 1-ten Grades.
Die in §. 23, 2 gebrauchte Formel
/ n\ n\ / n \
\k) k\(n — k)\ — k)
ist als Anzahl von Combinationen eine ganze Zahl. Von n verschiede
nen Elementen giebt es ebensoviel Combinationen ktm als (n — L)ten
Grades.
3. Man findet die Variationen 2ten Grades, indem man zu jedem
Element der Reihe nach jedes andere setzt; 3ten Grades, indem mau zu
jedem Element die Variationen 2ten Grades der übrigen Elemente setzt;
4ten Grades, indem man zu jedem Element die Variationen 3ten Grades
der übrigen Elemente setzt, u. s. w.
Für 5 Elemente-.
12 2 1
3 1
4 1 5 1
13 2 3
3 2
4 2 5 2
14 2 4
3 4
4 3 5 3
15 2 5
3 5
4 5 5 4
1 2 3 2 1 3
3 1 2
4 12 5 12
1 2 4 2 1 4
3 1 4
4 13 5 13
1 5 4 2 5 4
3 5 4
4 5 3 5 4 3 u. s. f.
Man findet die Combinationen 2ten Grades, indem man zu jet
Element der Reihe nach jedes höhere setzt; 3ten Grades, indem man zu
jedem Element die Combinationen 2ten Grades aus den höhern Elementen