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Allgemeine Arithmetik. 
5. Wenn die Subdeterminanten Men und {n — m)ten Grades ^> ik 
und g ik adjungirt sind (4), so sind alle Glieder des Products p ik ^ ik 
Glieder der Determinante rrten Grades R des gegebenen Systems. 
Denn das Anfangsglied des Products 
a ai a ß g ' ' a Qt a Gu ’ ' 
ist ein Glied von R (4). Nach Vertauschung von zwei ersten Nummern 
a r ß sind ßoc . . qg . . und fg .. tu .. Permutationen nicht derselben 
Classe, also ist — a ß{ a {(g . . ein Glied von p ik und das Glied des 
Products 
a ßf a ctg • • a Qt a (Tn • • 
ein Glied von R, u. s. w. 
Ueberhaupt ist 2 + a af a ßg . . « pt a Gu . . — R (2). Die Glieder 
von R, welche die Elemente a ait a ßg , . . enthalten, sind in der Formel 
a ai a ßg . . 2 + a (lt a an . . vereinigt. Die Glieder der Determinante 
2 ± a n . . « 55 , welche das Element « 2 3 enthalten, sind in «2z 2 + 
« t2 a 31 «44055 vereinigt; die Glieder, welche « 31 , « 14 enthalten, werden 
durch «gl st u 2 + « 22 « 43 «55 ausgedrückt. 
6. Wenn dem System 
dessen Determinante den Werth R hat, das System 
adjungirt ist (4), so hat die aus zwei Zeilen (Colonnen) der beiden 
Systeme z. B. aus der r'ten Zeile (Colonne) des einen und der Lten 
Zeile (Colonne) des andern Systems durch successive Multiplication der 
Elemente und Addition der Producte componirte Formel 
a il K kl + a i2 a k2 + • • + "in "kn 
«li a lk + « 2 . « 2k + . . + « ni « nk 
den Werth R oder 0, je nachdem i und k gleich sind oder ungleich. 
Beweis. Die Glieder der Determinante enthalten von der r'ten 
Zeile (Colonne) entweder das Ite Element, oder das 2te, oder das 3te, 
u. s. w. (1). Nun sind die Glieder der Determinante, welche das 
Element « ik enthalten, in dem Product « ik « ik vereinigt (5). Also 
umfaßt die Summe 
«ii a n + « i2 « i2 + . . oder « H « u + « 2i « 2i + • • 
alle Glieder der Determinante R, jedes einfach. Daher ist 
"ki % + " k2 a & + • • oder « lk «4. + « 2k « 2i + • *