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Allgemeine Arithmetik. 
3. Um die Potenz (« 0 + a x x -f- « 2 x 2 
.)“ in eine Summe 
von Gliedern nach der Reihe der darin vorkommenden Potenzen von x 
geordnet zu entwickeln, bildet man die Combinationen wten Grades der 
Elemente o 0r a Xr a 2l . ., deren jedes »mal gesetzt werden kann, so 
daß die Summen der Indices in den einzelnen Combinationen der Reihe 
nach die Werthe 0, 1, 2, . . haben. Wenn eine Combination aus « 
Elementen « 0 , ß Elementen a lt y Elementen a. lf . . besteht und die 
Summe der n Indices a . 0 -j- ß . 1 + y . 2 + . . = k, so ist (2) 
^rwjrr. a °“ {aiX)ß (a2x2)r • ■ 
ein Glied der gesuchten Reihe, welches x k enthält, weil 
a 0 tt (a x x)ß (a 2 £c 2 ) y . . — a 0 a . . x^ +2 y + 
Man findet alle Glieder, in denen x k vorkommt, wenn man die Zahl 
Je aus n ungleichen oder gleichen Indices der Glieder des Polynomium 
0, 1, 2, . . auf alle verschiedenen Arten zusammensetzt*). Z. B. für 
n = 5 io 
mensetzen: 
man 
die 
Exponenten von 
X 
auf 
folgende 
Arten 
aus 
0 
0 
0 
0 
0 
6 
ans 
O 
0 
0 
0 
6 
aus 
0 
0 
O 
0 
1 
0 
0 
0 
1 
5 
aus 
0 
0 
0 
0 
2 
0 
0 
0 
2 
4 
0 
0 
0 
1 
1 
0 
0 
0 
3 
3 
aus 
0 
0 
0 
p 
3 
0 
0 
1 
1 
4 
0 
0 
0 
1 
2 
0 
0 
1 
2 
3 
0 
0 
1 
1 
1 
0 
0 
2 
2 
2 
aus 
0 
0 
0 
0 
4 
0 
1 
1 
1 
3 
0 
0 
0 
1 
3 
0 
1 
1 
2 
2 
0 
0 
0 
2 
2 
1 
1 
1 
1 
2 
0 
0 
1 
1 
2 
7 
aus 
0 
0 
0 
0 
7 
0 
1 
1 
1 
1 
u. 
s. 
w. 
aus 
0 
0 
0 
0 
5 
0 
0 
0 
1 
4 
0 
0 
0 
2 
3 
0 
0 
1 
1 
3 
0 
0 
1 
2 
2 
0 
1 
1 
1 
2 
1 
1 
1 
1 
1 
*) Üötoiüre Pliilos. Trans. 1697 p. 619. Eine recurrente Entwickelung findet 
man bei Euler Lntrod. I. tj. 76. Ueber die Anzahlen der möglichen Gliederungen 
einer gegebenen Zahl aus kleinern Zahlen hat Euler lntrod. i. c. 16 weitere Un 
tersuchungen angestellt.