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Allgemeine Arithmetik 
tauscht wird, so bleibt Q unverändert; ES bleibt unverändert, weil das 
Product jedes Paares (a h — «i)(öii — a k ) oder («i — a h )(a h — a k ) 
oder (ai — «h)(«k — «h) unverändert bleibt; a k — aber erhält 
den entgegengesetzten Werth; demnach erhält P den entgegengesetzten 
Werth. 
In P kommt zunächst als Product aller Minuenden das Glied 
aßaßa^ 2 .. a n n ~ l vor. Ferner kommt jedes Glied, welches aus 
a x 0 a 2 1 a 3 2 .. «n 11 ' 1 durch Vertauschung der Indices sich bilden läßt, 
als Product aller Minuenden in einem Product vor, das den Werth 
P oder — P hat, je nachdem die Permutation der Indices zu den 
geraden oder ungeraden Permutationen gehört. Daher umfaßt P alle 
Glieder, welche aus a x 0 « 2 1 a 3 2 .. a n n ~ l durch Vertauschung der Indices 
abgeleitet werden können, und zwar positiv oder negativ, je nachdem 
die Permutationen der Indices gerade oder ungerade sind; mithin 
enthält P alle Glieder der obigen Determinante (§. 26, 1). 
Kein Glied von P enthält eine der Größen a x , « 2 , .. in höherer 
als (n — 1)ter Potenz, weil jede der Größen in n — 1 Differenzen 
vorkommt. Die Glieder von P, worin irgend zwei der Größen gleiche 
Exponenten haben, sind paarweise entgegengesetzt gleich. Wenn z. B. 
a h a aß a k r . . ein Glied von P bedeutet, so ist aß aßß a k Y . . ein 
Glied von — P, und —aß aß* aß' . . ein Glied von P. Die 
Glieder a k a aß aß' . . und — aß ayß a k Y . . sind entgegengesetzt 
gleich, wenn a = ß. Daher bleiben in P nur die Glieder der obigen 
Determinante übrig. 
Von allen 2« n(n -i) Gliedern des Products bleiben demnach nur die 
1.2...W Glieder der Determinante übrig, also 1.2.3 statt 2^, 
1 . 2.3 . 4 statt 2°, 1 . 2.3.4.5 statt 2*°, u. s. f. 
In dem einfachsten Falle ist 
(ö — a)(c — a)(c — A) — 
1 a a 2 
1 b b 2 
1 c c 2 
— ab" 1 — a 2 b -f- bc 2 — b 2 c -f- ca 2 — c 2 a 
folglich auch 
ab bc ca 
(c — sl) (c — b) (a — b) (a — o) {b — a) (b — e)