§. 3. Division. 
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3. Wenn der Dividendus nicht ein Vielfaches vom Divisor ist, 
so geht die Division nicht ans, und es bleibt ein Nest; der 
Quotient fallt zwischen zwei auf ^einander folgende natürliche Zahlen 
und kann nur mit Hülfe eines Bruches angegeben werden. 
56 : 7 — 8, weil 56 = 7 x 8, ein Vielfaches von 7. 
91 : 7 = 13, weil 91 — 7 X 13, - - - - 
23 : 7 ist mehr als 3 und weniger als 4, weil 7x3 = 21 und 
7x4 = 23. Die Differenz 2 zwischen 25 und 21. welche ein Rest 
heißt, soll auch durch 7 dividirt werden. Nun ist 1 : 7 der 7te Theil 
von 1, welcher 4- bezeichnet und 1 Siebentel gelesen wird. Ferner 
ist 2 : 7 der 7te Theil von 2, mithin 2mal so groß als der 7te Theil 
von 1, also = \ (2 Siebentel). Daher ist 23 : 7 — 3s-, d. h. der 
7te Theil von 23 ist 3s, das Verhältniß von 23 zu 7 ist 3s. Die 
künstlichen Ausdrücke. 
23 ist 3smal so groß als 7, 7 ist 3smal in 23 enthalten, 
23 ist das 3sfache von 7, 7 ist der 3ste Theil von 23, 
werden beim Rechnen mit Vortheil angewendet. 
Die Zahlen s, s, . . heißen Brüche, die obere Zahl der Zähler 
(er zählt die Theile), die untere der Nenner des Bruches (er be 
nennt die Theile). Mit Vorbehalt der Rechnung kann man 5317 : 
683 = 4 5 -gW setzen, und 'die Bezeichnungen 5317 : 683 und 5 ^y als 
gleichbedeutend gebrauchen. 
4. Ist ein Bruch neben der ganzen Zahl des Quotienten unbe 
trächtlich oder unzulässig (bei Individuen), so achtet man ihn für 1 oder 
für 0, je nachdem der Zähler die Hälfte des Nenners und der Bruch 
den Werth s übersteigt oder nicht. 39 : 11 ist genauer 4 als 3, weil 
39 näher an 44 als an 33 liegt, oder der Rest 6 mehr als die Hälfte 
von 11 beträgt. Dagegen ist 43 : 8 genauer 5 als 6. 
Z. B. um den Durchschnitt (das arithmetische Mittel, 
einen Näherungswerth) gegebener Werthe zu berechnen, dividirt man 
ihre Summe durch ihre Anzahl; der Quotient wird als Näherungs 
werth ohne Bruch angegeben, z. B. 
4726 
4754 
4698 
^4719 
18897 : 4 
4724 
Also ist 4724 der Dnrchschnittswerth der gegebenen Zahlen.