§. 32. Die Binomialreihe und die Logarithmenreihe. 
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9. Wenn a 0 , a ir a 2t . . real positiv sind und von « k an eine 
bis 0 fallende Reihe bilden,- und wenn x den Modul 1 aber einen von 
0 verschiedenen Arcus hat, so ist die unendliche Reihe 
a o -f- a l x -{- «2 xl + • • 
konvergent*). Denn bei hinreichend großem n ist die Reihe 
(®n+l ön+%)X n ^ —j— . . 
konvergent und zwar beliebig klein, weil die Reihe der Moduln 
(' a n — «n+l) + (ön+l «n+2) “f“ • - 
von «n eine beliebig kleine Differenz hat. Also ist auch 
«n^ n («n «n+l)a; n+1 («n+1 — «n«)*“* 2 —' . . 
d. i. (1 — x)(a n x n -f- «n+i# n+1 + . .) 
beliebig klein. 
Dieser Satz lehrt, daß die Reihen für q und ip (8) auch noch an der 
Grenze a = 1 convergiren, wenn co nicht null ist. 
*) S. Abel Crelle's I. 1 p. 332. Scheibner über unendliche Reihen p. 9. 
Dirichlet Liouv. Journ. 1862 p. 253.