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§. 1. Die Proportionen. 
(Seis 8- 31-33.) 
1. Das Verhältniß A : B (Allg. Arithm. §. 10) der Größe A 
zu der gleichartigen Größe B ist ^ 1, je nachdem A ^ B. Indem 
man A mit den Vielfachen von B oder mit den Vielfachen eines hin 
reichend kleinen Theiles von B vergleicht, findet man, wenn l, m, n 
ganze Zahlen bedeuten, entweder A = IB, oder A = — B, oder die 
n 
Begrenzung 
-B < A < 
n 
n 
Demnach wird das Verhältniß A : B entweder durch die ganze Zahl 
l oder durch den Bruch ^ genau ausgedrückt, oder durch die Brüche ™ 
und V -—~ begrenzt mit einem Fehler, der ^ nicht erreicht und bei 
hinreichend großem n beliebig klein ist. Wenn es bei der Begrenzung 
bewenden muß, so ist das Verhältniß der Größen irrational (Allg. 
Arithm. §. 16, 4), und die Größen heißen incommensurabel, wäh 
rend Größen von rationalem Verhältniß commensurabel genannt 
werden. 
Wenn man zur Bestimmung des Verhältnisses von zwei Strecken die kleinere 
auf die größere so oft als möglich aufträgt, den Rest so oft als möglich auf die 
kleinere, den zweiten Rest so oft als möglich auf den ersten Rest, u. s. f. und wenn 
man findet, daß kein Rest in dem vorhergehenden Reste aufgehen kann, so schließt 
man (Allg. Arithm. §. 13, 3), daß die Strecken incommensurabel sind (Eucl. X, 2). 
Beispiele: Legendre Gre'om. III probl. 19 (vergl. Eucl. X, 117), Kunze Planim. 
1. Ausl. 170. Bretschneider Grunert Archiv 3 p. 440. 
2. Wenn jede Begrenzung des Verhältnisses von einem Paar 
Größen zugleich eine Begrenzung des Verhältnisses von einem andern 
Paar Größen ist, so sind die Verhältnisse gleich*). 
') Eucl. V. des. 5. 
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