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Algebra. 
Beweis. Bei jeder gegebenen Zahl n läßt sich eine Zahl m finden, 
so daß 
a-.b <^±i 
n n 
Wenn nun immer zugleich 
m 
-< C: D 
n n 
so ist A-.B-C:D< !L+J _ C : D < ?-±± - - 
W 01 71 
b. fc. 4 : B - (7 : f) < — 
' n 
Wäre diese Differenz nicht null, so wäre sie nicht kleiner als der beliebig 
kleine Bruch ^. Also ist .4 : 75 — C : D = 0, A : B — C : D. 
Auf Vergleichung durch Begrenzung beruht die von Archimedes 
geübte „Exhaustions-Methode". Klügel math. W. 2 p. 152. 
3. Das Verhältniß von zwei Größen wird mittelbar gefun 
den, indem man das Verhältniß der ersten Größe zu einer geeigneten 
Hülfsgröße mit dem Verhältniß der Hülfsgröße zu der zweiten Größe 
multiplicirt. Eucl. VI. des. 5. 
4 : B = {A : M){M : B) 
Denn (.A : M){M : B)B — {A : M)M — A (Allg. Arithm. §. 10). 
Ebenso ist A : B = (A : M){M : N){N : B), u. s. f. 
Die Verhältnisse A : B und B : A sind reciprok, weil (A : B){B : 4) 
= 4:4 — 1 (Allg. Arithm. §. 11, 7). 
4. Mehrere Größen verhalten sich zu einander der Reihe nach, 
wie ihre Verhältnisse zu derselben Hülfsgröße (Einheit): 
4 : B : C = (4 : M) : (5 : M) : (C : 4s) 
d. h. 4 : S = (4 : 4/) : (S : if) 
4 : C == (4.: M) : (C : if), u. s. w. 
Denn (A : M) \ (B : M) = A : L, weil (4 : B){B : if) = 
4 : if (3). 
Wenn insbesondere die erste Größe p solche Theile (Einheiten) 
enthält, deren die zweite q, die dritte r enthält, so verhalten sich die 
Größen zu einander der Reihe nach, wie p : q : r. Umgekehrt, wenn 
Größen zu einander der Reihe nach sich verhalten, wie die Zahlen p, q, r 
so kann die erste = pM, die zweite — qM, die dritte — ,-if gesetzt 
werden, wobei if unbestimmt bleibt.