§. 1. Die Proportionen. 
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n, 
Man kaun die Zahlen A : M, B : M t C : AI sämmtlich mit der 
selben Zahl multipliciren oder dividiren, ohne ihre Verhältnisse zu 
einander zu verändern (Allg. Arithm. §. 11, 3). Man multiplicirt sie 
mit dem gemeinschaftlichen Nenner, wenn sie alle oder zum Theil Brüche 
sind; man dividirt sie durch ihren größten gemeinschaftlichen Divisor. 
5. Proportion (avaXoyia, proportionalitas) heißt eine Gleichung 
von Verhältnissen, z. B. A : B = C: D*). Die gleichgestellten Größen 
A und C, B und D werden homolog genannt. Das Product der 
mittlern Größen ist dem Producte der äußern gleich, wobei unter Größe 
deren Verhältniß zur Einheit verstanden wird. Eucl. Y. des. 8. VII, 19. 
Wenn A ; B — C : D, so ist BC — AD 
Beweis. AD : BC ist gleichbedeutend mit (A : B)(D ; C), weil 
nach der gegebenen Erklärung A, B, . . Zahlen sind. Nun ist D ; C 
= B : A, folglich AD : BC = (A : B)(B ; A) = 1. 
G. Die Größen einer Proportion jede durch die homologe dividirt 
geben gleiche Quotienten. Wenn 
A : B : C = F ; G : // 
so ist 
A : F = B : G = C : H 
und umgekehrt. Vorausgesetzt wird dabei, daß F, G, 11 Größen der 
selben Art sind wie A, B, C oder daß sie Zahlen bedeuten (die Ver 
hältnisse der Größen F, G, II zur Einheit). Eucl. Y, 16. YII, 13. 
Beweis. A : F = (A ; B)(B ; F) nach (3). Nun ist A : B 
— F : G vorausgesetzt, folglich A : F — (B ; F){F; G) — B : G. 
U. s. w. 
Wenn die Größen A, B, C, . . sich zu einander verhalten wie die 
Differenzen A — B, B — C, C— D,.., so sind B : A, C: B t D ; C,.. 
gleich d. h. A, B, C, . . bilden eine geometrische Progression. 
7. Das Verhältniß der Polynomien 
Ax -st By -st Gz : Ap -st Bq -st Cr 
bleibt unverändert, wenn man in allen Gliedern die Größen A, B, C 
durch andere, F, G, 11 ersetzt, welche sich zu einander der Reihe nach 
verhalten wie A, B, C. 
Beweis. Vermöge der Proportion F : G : II — A : B : C 
\\t F : A — G : B = H : C (6). Multiplicirt man in den Poly 
*) Das Gleichheitszeichen wird in diesem Falle auch durch das von Oughtred 
1631 eingeführte Zeichen : : vertreten. 
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