¡. 2. Die Summe. 
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Summe der gemachten Wahrnehmungen (Erfahrung, e/tmeigia) gefordert 
wird. Die gerühmte Richtigkeit der mathematischen Wissenschaften beruht 
darauf, daß sie eine äußerst geringe Anzahl von Axiomen enthalten, und 
daß ihre Theoreme sich (logisch) beweisen und (empirisch) prüfen lassen. 
Der Beweis (anodeigig, demonstratio) wird direct geführt, wenn 
man aus der Voraussetzung durch Schlüsse die Behauptung ableitet; 
in direct (apagogisch, anayioyrj, deductio ad absurdum) wenn man 
aus der Verneinung der Behauptung durch Schlüsse die Verneinung der 
Voraussetzung ableitet. Die mathematischen Schlüsse (pvXloyigf.i6c): 
wenn A — B und B — C (praemissae), so ist A — C (conclusio); 
wenn A> B, B > C, so ist A >> C; Gleiches um Gleiches vermehrt 
oder vermindert giebt Gleiches, u. s. s., entspringen aus dem Begriff 
der Gleichheit (1). Nach ihrem Muster hat man seit Aristoteles auch 
für andre Gebiete Schlüsse zu bilden versucht (Logik). 
Abgesehen von diesen aus dem Begriff der Gleichheit hervorgehen 
den Schlüssen bedarf der erste Theil der mathematischen Wissenschaften 
(Arithmetik, Algebra, Analysis) keiner Axiome, während die folgenden 
Theile (Geometrie und Mechanik) nicht ohne einige Axiome begründet 
werden können. 
In den älteren Darstellungen bedeutet corollarium ein Theorem, welches einem 
andern untergeordnet und aus demselben leicht ableitbar ist; lemma (zu ha/ußävw) 
ein Theorem, welches einer andern Reihe angehörig zur Begründung eines Theorems 
vorausgeschickt wird. 
§.2. Die Summe*). 
(Hers 8. 1 und 7-) 
1. Die Summe zweier Zahlen entsteht durch Hinzuzählen (Ad 
dition) der Einheiten der zweiten Zahl zu der ersten Zahl. Beide Zah 
len heißen Glieder (termini, termes) der Summe. Die Summe der 
Zahlen a und ö, wird bezeichnet a + b, gelesen a plus b. 
2. Die Glieder einer Summe können nicht anders als gleichbenannt 
sein, die Summe ist mit den Gliedern gleichbenannt. 
3. Die Ordnung der Glieder einer Summe ist beliebig: 
ci -j- b = b —a 
a-\-b-\-c = b-\-a-\-c — a-\-c~\~b 
Denn die Reihe von a Einheiten, zu denen b Einheiten addirt worden, 
123 al23 b 
1 + 1 + 1+ .. + 1 + 1 + 1 + 1+ .. + 1 
*) Für den Zweck der Einübung sind bei den Paragraphen des zweiten und drit 
ten Buchs die entsprechenden Paragraphen von H eis' Sammlung von Beispielen und 
Aufgaben aus der allgemeinen Arithmetik und Algebra angegeben worden.