§. 13. Theilbarkeit der Zahlen. 
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Ebenso erhält man auch 
l n+1 — O n+1 < (n + 1) . l n 
2 n+1 — l n+1 < (n + 1) . 2* **) 
3 n+ i — 2 n+1 < (n -f- 1) . 3 n 
u. s. w-, folglich durch Addition 
fc nfl < (n + l)(l n + 2 n + . . -f- fc n ) 
Die gefundene Begrenzung 
fc n+1 < (n + 1)(1“ + 2* + . . + fc») < (ft + l) n+1 — 1 
giebt zu erkennen, daß 
(n H- 1)0 + 2 n + . . + k“) — fc n+1 < (ft + l) n+1 — — 1 
und nach Division durch (n -f- l)fc n+1 , daß 
l n + 2 n + . . + 
k n+l 
< — 
n + 1 n + 1 
K 1 + F 
1 — 
Bei hinreichend großem lc wird die rechte Seite beliebig klein, 
erreicht bei unendlich großem lc 
l n + 2 n + • • + 
1 
den Werth — 7 —-*) 
/ n + 1 
1 } 
jt n + 1 J 
Also 
§. 13. Theilb arkeit der Zahlen^). 
(Heis 8. 27 und 28.) 
1. Wenn der Quotient der (ganzen) Zahlen a und m eine ganze 
Zahl ist, wenn also die Division von a durch m aufgeht, so sagt mau, 
a ist theilbar durch m, m geht auf in «, a ist ein Dividuus (Mul 
tiplum, Vielfaches) von m, m ist ein Divisor (Theiler, Maß) von a. 
Alle Zahlen von der Form mx, welche die Formel mx umfaßt, wenn 
für die Unbestimmte (indeterminata) x beliebige ganze Zahlen gesetzt 
werden, sind durch m theilbar. Die durch 2 theilbaren Zahlen von der 
Form 2x heißen gerade (pares). Die durch 2 nicht theilbaren Zahlen 
2x + 1 heißen ungerade (impares). Eucl. VII. des. 5 ff. 
Wenn a durch m theilbar, und m durch p theilbar ist, so ist auch 
a durch p theilbar. Denn nach Voraussetzung ist a — mx, m = py, 
folglich a — pxy. Und wenn a durch m theilbar und 2 eine beliebige 
Zahl ist, so ist auch das Product az durch m theilbar. 
*) Diesen Satz, dessen Anfänge bei Archimedes (Spiralen 10) zu finden 
find, und desfen Aufstellung der erste Schritt zur Berechnung bestimmter Integrale 
mar, haben die Mathematiker der ersten Hälfte des 17ten Jahrhunderts entwickelt. 
Fermat und Roberval Brief von 1636'Oct. 11 lFermat opp. p. 140), Pascal 
Oeuvres ed. Lahure II p. 482, Wallis Arithm. infin. 1656. Vgl. Stereom. §. 9. 
**) In diesem der Arithmetik im engeren Sinne (Zahlenlehre) ungehörigen Para 
graphen wird unter Zahl eine ganze Zahl verstanden.