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Allgemeine Arithmetik. 
2. Wenn a und b durch m theilbar, x und y beliebige Zahlen 
sind, so ist ax + by durch m theilbar (Eucl. V, 1). Denn nach der 
Voraussetzung ist a = ma, b — mß, folglich ax + by = m(ax + ßy). 
Wenn von den Differenzen a — b und c — d jede durch m theil 
bar ist, so sind auch 
a + c — (b + d), ac — bd, a 2 — - 2 , a 3 — ö 3 , . . 
durch m theilbar. Denn 
a + c — (b + d) = (a — b) +; (c — d) 
ac — bd = (a — b)c -j- b(c — d) 
a 2 — b 2 — (a — b)(a -j- b) 
a 3 — ö 3 — (a — b)(a 2 -j- ab -s- b 2 ), U. s. f. 
3. Wenn die Zahl a durch die Zahl b dividirt den Rest c giebt, 
wenn wiederum b durch c dividirt den Rest d giebt, u. s. f., so bleibt 
endlich der Rest 0, weil die (ganzen) Zahlen b, c, d, . . eine fallende 
Reihe bilden, und man hat die Kette von Gleichungen (§. 10, 3) 
a — pb -}- c 
b = qc + d 
f = tg + h 
g — uh 
Der letzte von Null verschiedene Rest h der gefundenen Reihe ist der 
größte gemeinschaftliche Divisor der Zahlen a und b. Denn 
h ist eilt Divisor von g, also auch (2) von tg -f- h d. i. /, also auch 
von jedem vorangehenden Rest, sowie endlich von b und a. Umgekehrt 
schließt man, daß ein Divisor von a und b auch ein Divisor von c, d, 
. ., h ist, und daher nicht mehr als h sein kann. 
Wenn zwei Zahlen einen gemeinschaftlichen Divisor über 1 nicht 
haben, so heißen sie prim zu einander (primi inter se, relative 
Primzahlen). Wenn h der größte gemeinschaftliche Divisor von a und b 
ist, so sind die Zahlen a : h und b : h prim zu einander. Insbesondere 
sind je zwei folgende natürliche Zahlen, a und a + 1, relative Prim 
zahlen. Eucl. VII, 1.' 
Anmerkung. Wenn der Zähler und der Nenner eines Bruches 
nicht prim zu einander sind, so ist der Bruch reducibel und erhält 
seinen einfachsten Ausdruck, indem der Zähler und der Nenner durch 
ihren größten gemeinschaftlichen Divisor dividirt werden (§. 11, 2). 
Wenn der Zähler und der Nenner relative Primzahlen sind, so ist der 
Bruch irreducibel. 
Um den größten gemeinschaftlichen Divisor mehrerer Zahlen «, b, c, 
. . zu finden, berechnet man den größten gemeinschaftlichen Divisor h